Verständnisprobleme bei einer Definition

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zwergnase Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnisprobleme bei einer Definition
Definition: Sei ein Körper, sein Einselement. Für positive natürliche Zahlen werde als (n Summanden) verstanden. Gilt dann für alle , so nennt man einen Körper der Charakteristik Null. Im anderen Falle ist die Charakteristik definierte kleinste positive natürliche Zahl für die gilt.

Also ich kann diese Definition nicht so recht nachvoll ziehen.
Zitat:
sein Einselement. Für positive natürliche Zahlen werde als (n Summanden) verstanden. Gilt dann für alle

Wieso kann man für das Einselement mal Addieren und bekommt unter umständen 0 raus?

Kann mir das vielleicht jemand recht anschaulich und einfach erklären, vielleicht mit einem Bespiel. Für den Körper der rellen Zahlen, hätte ich doch dann die Charakteristik Null, oder?

Gruß Wink
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ja du hast Recht hat die Charakteristik 0, deshalb hindert das die natürliche Vorstellung wohl auch ein wenig.

Du kennst aber doch wahrscheinlich für p prim. Welche Charakteristik hat den dieser Körper?
zwergnase Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo kiste,

von habe ich noch nichts gehört, wurde irgendwie in der linearen Algebra noch nicht behandelt. Und aus dem Buch aus welchen ich die Definition habe habe, wird als Beispiel der Körper angeführt nur leider sag mir der auch nichts und die Erklärung dazu ist recht spärlich. Ich dachte es würde sich ein anschaulich und bekanntes Beispiel finden lassen, aber oder auch habe ja alle die Charakteristik Null.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Z/pZ sind die Restklassen modulo p. Diese bilden mit den kanonischen Verknüpfungen +,* einen Körper. Dein aufgeführter ist ein Spezialfall davon der aber als Beispiel ausreicht.

mit , , und der Multiplikation wie man sie gewöhnt ist bildet einen Körper. Wie du anhand der Definition schon sehen kannst ist dies ein Körper der Charakteristik 2.

Endliche Körper haben alle insbesondere eine Charakteristik ungleich 0 was sich auch leicht aus der Definition der Charakteristik ergibt.

Die meisten dir bekannten Körper werden Charakteristik 0 haben wenn sie unendlich viele Elemente haben. Es gibt zwar Beispiele für unendliche Körper mit Charakteristik p aber die würdest du zum aktuellen Zeitpunkt noch nicht verstehen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Stelle dir eine Uhr vor, nur mit fünf statt zwölf Stunden. Ganz oben steht 0, dann kommen im Uhrzeigersinn 1,2,3 und 4. Im Folgenden verwenden wir zunächst nur die Elemente 0,1,2,3,4.

Addieren:
Beispiel : Du startest bei Stunde 3 und gehst 4 Stunden im Uhrzeigersinn weiter. Dann kommst du bei Stunde 2 an.

Subtrahieren:
Beispiel : Du startest bei Stunde 2 und gehst 4 Stunden zurück, läufst also gegen den Uhrzeigersinn. Dann kommst du bei Stunde 3 an.

Wie du siehst, sind Addition und Subtraktion Umkehrungen voneinander: ist äquivalent zu . Oder allgemein: äquivalent zu . Man kann das auch über additiv Inverse erklären: Es gilt z.B. . Also ist 1 das additiv Inverse von 4, in Zeichen: . Und die Subtraktion kannst du als Addition des additiv Inversen verstehen: . Im Beispiel von oben beim Subtrahieren: . Du siehst, egal wie man das auffaßt, es kommt dasselbe heraus wie oben bei der Subtraktionsaufgabe.

Multiplizieren:
Beispiel : Du startest bei Stunde 0 und gehst 3-mal 4 Stunden im Uhrzeigersinn weiter. Du kommst bei Stunde 2 an.

Dividieren:
Beispiel : Einfach umgekehrt wie beim Multiplizieren. Wieviel mal mußt du, bei Stunde 2 beginnend, 4 Stunden zurücklaufen, um bei 0 anzukommen? 3-mal.

Auch hier sind Multiplikation und Division Umkehrungen voneinander: ist äquivalent zu , sofern . Auch hier kannst du über multiplikativ Inverse gehen: Zum Beispiel gilt , also ist 4 zu sich selbst multiplikativ invers, in Zeichen: oder auch . Und die Division kannst du als Multiplikation mit dem multiplikativ Inversen verstehen: . Nehmen wir das Beispiel von oben beim Dividieren: . Es ergibt sich also derselbe Wert wie beim direkten Dividieren.
Ja sogar das Kürzen funktioniert: Es gilt ja . Und jetzt lösen wir die obige Divisionsaufgabe durch Kürzen:



Den letzten Bruch können wir als multiplikativ Inverses von auffassen. Wir suchen also ein mit . Offenbar funktioniert das mit , es gilt daher: . Und wieder haben wir dasselbe erhalten wie oben beim direkten Dividieren. Natürlich kann man selbst auch durch direktes Dividieren berechnen. Bei Stunde 1 starten und in Portionen von 2 Stunden rückwärts gehen, bis man bei 0 ist. Das muß man offenbar 3-mal machen: .

Das, was ich hier erklärt habe, ist der Körper mit Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Diese Rechenoperationen haben jeweils zwei Operanden, beide sind Elemente von . Und jetzt kommt etwas anderes, eine Multiplikation zwischen einem Element von und einem Element von . Zur Unterscheidung bezeichne ich diese nicht mit , sondern mit . In deinem Beitrag wird diese Multiplikation auch mit bezeichnet, was üblich ist, weil der erfahrene Mathematiker immer aus dem Zusammenhang erkennt, was gerade gemeint ist. Für den Anfänger ist das aber verwirrend, daher jetzt diese Unterscheidung.

Beispiel 1
: Man beginnt bei Stunde 0 und geht 3-mal 4 Stunden vorwärts. Das ist also nichts anderes als . Und bisher ist kein Unterschied zu zu erkennen.

Beispiel 2
Jetzt darf aber der erste Operand eine beliebige natürliche Zahl sein.
. Man beginnt bei 0 und geht 7-mal 4 Stunden vorwärts. Anders gesagt:

Und was ist nun mit ? Oder mit ? Oder ... oder ...

Und wenn du das alles gut verstanden hast, dann mache das Ganze einmal statt mit einer fünfstündigen mit einer sechsstündigen Uhr: Stunden 0,1,2,3,4,5. Was geht eigentlich schief, daß man jetzt keinen Körper erhält?

Nachtrag: Man kann die -Multiplikation von auf ausdehnen. Wie man das vermutlich macht, kannst du dir selber einmal zurechtlegen. Vergleiche die mathematische Struktur dann mit einem Vektorraum. Auch dort hat man eine Multiplikation verschiedener Typen: Die skalare Multiplikation multipliziert ein Körperelement mit einem Vektor. Und hier ist auch so etwas wie eine skalare Multiplikation. Der Begriff der Algebra für eine solche Struktur ist "Modul über einem Ring" statt "Vektorraum über einem Körper".
zwergnase Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kiste
Hallo,

Z/pZ sind die Restklassen modulo p. Diese bilden mit den kanonischen Verknüpfungen +,* einen Körper. Dein aufgeführter ist ein Spezialfall davon der aber als Beispiel ausreicht.

mit , ,

Okay, hier sieht man es sofort. Aus ist ja in diesem Fall ,also , was auch gleich die kleinste positive natürliche Zahl ist.

Danke, ich werde das einfach so als Beispiel im Hinterkopf gehalten. Aber bei den "gängigen" Körper welche man zum rechnen verwendet ist die Charakteristik = 0.
 
 
zwergnase Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leopold,

danke für deine super verständliche Erklärung. Werde ich später gleich mal darüber machen und alles im Detail nachvollziehen.

Gruß Wink
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Und worüber kiste spricht, wäre dann der Fall einer Uhr mit zwei Stunden 0,1.
zwergnase Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
[... ]
Und was ist nun mit ? Oder mit ? Oder ... oder ...

und

Und wenn du das alles gut verstanden hast, dann mache das Ganze einmal statt mit einer fünfstündigen mit einer sechsstündigen Uhr: Stunden 0,1,2,3,4,5. Was geht eigentlich schief, daß man jetzt keinen Körper erhält?


Also ich habe nach deinem Schema etwas rumprobiert, es allgemein Nachzuweisen habe ich nicht geschafft, also habe ich mich nur mit Zahlenbeispielen begnügt. Und bei dem multiplikativ Inversen ist mir aufgefallen das es kein finden lies, was dies erfüllt. Aber das mult. Inverse muss nach den Körperaxiomen vorhanden sein! Also handelt es sich hierbei um keinen Körper.

Aber der "Uhrenfall mit zwei Elementen" sollte dann wieder ein Körper sein.

Zurück zu dem Körper mit 6 Elementen der irgendwie keiner zu sein scheint und den von mir anfangs zitierten Satz. Also er besitzt als Einselement. Was aber für ,für nicht immer erfüllt ist. und ist nun meine Charakteristik, die als die kleinste positive natürliche Zahl definiert ist, gleich 6.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Das Beispiel ist eben ein Ring und kein Körper. Es gibt Verallgemeinerungen der Charakteristik auf Ringe, so das dies in diesem Beispiel tatsächlich die Char. 6 hätte.

Das kein Körper ist sieht man z.B. so wie du es herausgefunden hat. Die Eigenschaft das die 2 kein Inverses hat kommt daher dass sie ein Nullteiler ist, d.h. dass 2*3=6=0 gilt. Körper haben jedoch keine Nullteiler.
zwergnase Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kiste
Das Beispiel ist eben ein Ring und kein Körper. Es gibt Verallgemeinerungen der Charakteristik auf Ringe, so das dies in diesem Beispiel tatsächlich die Char. 6 hätte.
Okay gut, Ringe kommen erst im nächsten Kapitel. Freude
Das kein Körper ist sieht man z.B. so wie du es herausgefunden hat. Die Eigenschaft das die 2 kein Inverses hat kommt daher dass sie ein Nullteiler ist, d.h. dass 2*3=6=0 gilt. Körper haben jedoch keine Nullteiler.
Also verstehe ich nicht so recht, der Körper, nein besser der Ring, hat doch gar kein Element ?
Was bedeutet Nullteiler im allgemeinen, eine Zahl des Ringes mit irgendetwas multipliziert (Frage: Element Ring oder nicht?) ergibt 0? Aber das beutet doch im Umkehrschluss für unser Beispiel: , was komisch ist. Dann Also ist 0 in diesem Ring nicht das neutrale Element der Addition.
Aber das wirft für mich die Frage auf, welches dann das neutrale Element in diesem Ring ist?

Bei dem Körper mit fünf Elementen, erfüllte das neutrale Element die 0, oder?

Soviel Fragen, nun bin ich selber etwas verwirrt, ich hoffe irgendjemand kann mir helfen meine Gedanken wieder zu ordnen.

Gruß Wink
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Der Zwischenschritt mit =6 war zum besseren rechnen. Man kann die Verknüpfung auch so sehen das man erst wie in den natürlichen Zahlen rechnet und dann den Rest beim Teilen durch 6 als das Ergebnis nimmt. Beispielsweise ist 3*5=15.
15 : 6 = 2 Rest 3. Also ist 3*5 = 3 in Z/6Z. Deswegen nennt man diesen Ring auch den Restklassenring da Zahlen mit gleichem Rest zusammengefasst werden.

kannst du nicht schließen, denn die 3 hat ebenfalls kein Inverses in Z/6Z. Die 0 ist weiterhin das neutrale Element bezüglich die Addition wie auch bei Z/5Z.

Man nennt das Ringelement a einen Nullteiler wenn es ein b gibt so dass
a*b=0 oder b*a=0
zwergnase Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kiste
Der Zwischenschritt mit =6 war zum besseren rechnen. Man kann die Verknüpfung auch so sehen das man erst wie in den natürlichen Zahlen rechnet und dann den Rest beim Teilen durch 6 als das Ergebnis nimmt. Beispielsweise ist 3*5=15.
15 : 6 = 2 Rest 3. Also ist 3*5 = 3 in Z/6Z. Deswegen nennt man diesen Ring auch den Restklassenring da Zahlen mit gleichem Rest zusammengefasst werden.

Den gleichen Rest haben also bestimme "Mengen" in , gilt ja nicht für alle.
Dieser Ring ist zum rechnen nicht sehr bequem! verwirrt


kannst du nicht schließen, denn die 3 hat ebenfalls kein Inverses in Z/6Z. Die 0 ist weiterhin das neutrale Element bezüglich die Addition wie auch bei Z/5Z.

Man nennt das Ringelement a einen Nullteiler wenn es ein b gibt so dass
a*b=0 oder b*a=0


Na, dann gibt es von meiner Seite eigentlich keine Fragen mehr, zu diesem Thema! Danke für eure Hilfe.

Bis bald
zwergnase Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

es ist noch mal ein Frage bezüglich diese Restklassen modulo p aufgetreten. Und zwar gibt es für zum Beispiel, sowas wie den Begriff der Dimension, oder einer Basis, wie in Vekrotraumen?

Gruß Wink
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst , F macht keinen Sinn.

Naja es gibt den Begriff der Ordnung, , also die Anzahl der Elemente.

Die Körper mit sind -Vektorräume falls du sowas meinst Augenzwinkern .
zwergnase Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Du meinst , F macht keinen Sinn.
Wie meinst du das genau?

War nur so eine Idee, weil ich gerade über einer sehr schweren Aufgabe, auf jeden Fall für mich, hänge.
Aufgabe:
Hat ein lineares Gleichungssystem mit Koeffizienten in den Körper genau drei Lösungen, so ist .

Notiz: soll Isomorhismus bedeuten.

Ein Einfall war mit dem Begriff der Dimension zu agrumentieren. A la zwei n-Dimensionale Vektorräume über sind isomorh. War aber nur so ein Gedanke, werde mal bisschen weiter mich damit beschäftigen. Problem ist etwas, dass ich über den Körper auch nicht mehr weiß, als das er drei Elemente besitzt. Über das LGS mit genau drei Lösungen kann ich schon etwas mehr aussagen. Aber mir fehlt hat immer noch etwas der Zugang diese beiden Sachen zu verknüpfen.

Gruß Wink
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte das dein keinen Sinn macht, da F nicht definiert ist.

Zur Aufgabe: Die Anzahl der Lösungen des homogenen LGS ist gleich der des inhomogenen LGS, falls dieses lösbar ist.
Das heißt, da es 3 Lösungen hat, kannst du oBdA annehmen dass das LGS homogen ist. Jetzt bilden die Lösungen des LGS aber einen Untervektorraum von wobei n die Anzahl der Variablen beschreibt. Den Rest solltest du alleine schaffen smile
zwergnase Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, soweit bin ich selber auch gekommen habe es mal aufgeschrieben:

, mit und , da es eine eindeutige Lösung gibt folgt . Was bedeutet mit Wie kann man nun formal ausdrücken, dass es sich um einen dreidimensionalen Unterraum handelt? , das L steht für lineare Hülle?

So und nun soll ich zeigen das ist, dies soll ich laut kiste allein schaffen, aber da liegt eigentlich die Schwierigkeit.

Also Isomorphismus bedeutet doch bijektiv und Homomorhismus, ich versuche mich an den vermeintlich leichtern der Bijektivität: Aber wie kann kann zeigen das ein drei dimensionaler Vektor bijektiv zu drei Elementen des abbildet ist?
Würde gerne erst die Injektivität und dann die Surjektivität zeigen. Aber ich scheitere immer daran, dass ich zum einen einen beliebigen drei dimensionalen Vektor habe und auf der anderen Seite drei Elemente habe.

Gruß Wink
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Nein es gibt 3 Lösungen, nicht eine eindeutige Lösung. Von daher ist der Kern auch nicht-trivial!

Und warum sollte sein? Das kann doch allein wegen der Ordnung für keinen Körper K gelten.

Ordnung ist auch das richtige Stichwort, versuche damit zu begründen das der Kern 1-dimensional ist, also die Ordnung von K hat.

Als nächstes zeigst du das es nur einen Körper der Ordnung 3 gibt.

Die Kombination dieser beiden Aussagen liefert bereits das zu zeigende.
zwergnase Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, war etwas auf dem Holzweg, muss noch mal von vorne anfangen.
Zitat:
Original von kiste
Das heißt, da es 3 Lösungen hat, kannst du oBdA annehmen dass das LGS homogen ist.
Wieso kann ich das annehmen?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte den Begriff affinen Unterraum vermeiden und hab deshalb die Annahme gemacht. Im Prinzip ist es aber unwichtig da du nur die Dimension des Lösungsraums bestimmen musst.
Es ist natürlich .
zwergnase Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe einfach ein Problem, zu verstehen, das es drei Lösungen geben muss.

Mein Versuch scheitert immer daran. Also:

Mit der Ordnung habe ich auch nicht verstanden, aber ich nehme mal an der Kern ist eindimensional ist, dann folgt doch:
und sieht doch meine Lösung so aus:

Aber das sind doch dann unendlich viele Lösungen und nicht nur drei. Wo ist den mein Fehler?

Gruß Wink
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Das es 3 Lösungen gibt ist doch die Vorraussetzung!

. Okay schön, und da es nur 3 Lösungen gibt, gibt es wieviele Elemente in K?

Und wie du das Kern ist 1-dimensional siehst: Die Ordnung davon ist prim, also insbesondere keine Potenz. Also muss es 1-dimensional sein
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zwergnase
Aber das sind doch dann unendlich viele Lösungen und nicht nur drei.


Nein. Das ist für dich so, da du daran gewöhnt bist, lineare Gleichungssysteme über dem Körper IR zu lösen. Da IR ein unendlicher Körper ist, gibt es also entweder keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen. Hat der Körper aber die Mächtigkeit n, dann gibt es entweder keine, genau eine oder k * n Lösungen. k ist dabei die Dimension des Kerns der Matrix A im LGS Ax = b.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Hat der Körper aber die Mächtigkeit n, dann gibt es entweder keine, genau eine oder k * n Lösungen.

Augenzwinkern
zwergnase Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kiste
Das es 3 Lösungen gibt ist doch die Vorraussetzung!

. Okay schön, und da es nur 3 Lösungen gibt, gibt es wieviele Elemente in K?

Mit , folgt dann ???

Und wie du das Kern ist 1-dimensional siehst: Die Ordnung davon ist prim, also insbesondere keine Potenz. Also muss es 1-dimensional sein
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Zitat:
Original von WebFritzi
Hat der Körper aber die Mächtigkeit n, dann gibt es entweder keine, genau eine oder k * n Lösungen.

Augenzwinkern


Ja, ich meinte natürlich die linear unabhängigen Lösungen. Augenzwinkern
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