Satz von Schwarz

05.06.2006, 23:25	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Schwarz Hi! Ich hatte folgende Aufgabe und hoffe, dass ich die richtig gelöst habe. Vlt könnt ihr mal einfach drüberschauen und eure Meinung dazu abgeben Es werde eine Funktion $\begin{eqnarray} f: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} f(0,0)=0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f(x,y)=\cfrac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} (x,y) \neq (0,0) \end{eqnarray}$ definiert. Zeigen Sie, dass die vier partiellen Ableitungen $\begin{eqnarray} f_{xx}, f_{xy}, f_{yx}, f_{yy} \end{eqnarray}$ überall auf $\begin{eqnarray} R^2 \end{eqnarray}$ existieren, aber $\begin{eqnarray} f_{xy}(0,0) \neq f_{yx}(0,0) \end{eqnarray}$ ist. Warum widerspricht das nicht dem Satz von Schwarz über dei Vertauschbarkeit der zweiten Ableitung? Hier meine Lösung: Also ich hab erstmal fleißig alle partiellen Ableitungen gebildet, die ich für diese Aufgabe brauche. Also: $\begin{eqnarray} f_x=\cfrac{x^4+4x^2y^3-y^5}{(x^2+y^2)^2}, f_{xx}=\cfrac{-4x^3y^3+12xy^5}{(x^2+y^2)^3}, \\f_{xy}=\cfrac{x^6+9x^4y^2-9x^2y^4-y^6}{(x^2+y^2)^3}, f_y=\cfrac{x^5-4x^3y^2-xy^4}{(x^2+y^2)^2}, \\f_{yy}=\cfrac{-12x^5y+4x^3y^3}{(x^2+y^2)^3}, f_{yx}=\cfrac{x^6+9x^4y^2-9x^2y^4-y^6}{(x^2+y^2)^3} \end{eqnarray}$ . Außerhalb des Nullpunktes trivialerweise definiert, da für $\begin{eqnarray} (x,y) \neq (0,0) \end{eqnarray}$ alle partiellen Ableitungen exisiteren, da Nenner ungleich null und wir ein Polynom in x und y haben. Für die partielle Ableitung $\begin{eqnarray} f_{xx} \end{eqnarray}$ gilt: Für $\begin{eqnarray} (x,y) \neq (0,0) \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} f(x,0)=0 \end{eqnarray}$ . Für x=y=0 ist auch Funktionswert Null. Da f auf der x-Achse die Nullfunktion ist, ist auch $\begin{eqnarray} f_{xx}(0,0)=0 \end{eqnarray}$ . Analog habe ich es bei $\begin{eqnarray} f_{yy} \end{eqnarray}$ gemacht. Nun für die anderen beiden: Auch hier existieren die partiellen Ableitungen trivialerweise außerhalb des Nullpunktes. Untersuche nun $\begin{eqnarray} f_{xy} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \lim_{x \rightarrow 0} \left( \lim_{y \rightarrow 0} \cfrac {x^6+9x^4y^2-9x^2y^4-y^6}{(x^2+y^2)^3} \right)=1 \end{eqnarray}$ Ferner: $\begin{eqnarray} \lim_{y \rightarrow 0} \left( \lim_{x \rightarrow 0} \cfrac {x^6+9x^4y^2-9x^2y^4-y^6}{(x^2+y^2)^3} \right)=-1 \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} f_{xy} \end{eqnarray}$ nicht stetig und damit ist die Voraussetzung zum Satz von Schwarz gar nicht gegeben. Analog für $\begin{eqnarray} f_{yx} \end{eqnarray}$ . Schon mal ein dickes Dankeschön!!! Edit: Zeilenumbrüche eingefügt. Ben
06.06.2006, 00:25	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
ohne mir alles angesehen zu haben..... bei dir stimmen auch in anderen Punkten $\begin{eqnarray} f_{xy} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_{yx} \end{eqnarray}$ gar nicht überein.....
06.06.2006, 16:59	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
@LOED: Ich hab nochmal drüber geschaut und gemerkt, dass ich die eine partielle Ableitung falsch eingegeben habe. Sorry Wie sieht es denn nun aber aus, wenn es korrigiert ist? Stimmt das dann halbwegs???
08.06.2006, 10:24	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi VR hab ich haargenauso die Aufgabe... - auch mit der gleichen Begründung, warum Schwarz hier nicht funktioniert... P.S. wäre $\begin{eqnarray} f_{xy} \end{eqnarray}$ stetig dann auch automatisch $\begin{eqnarray} f_{yx} \end{eqnarray}$ . Aber der Hammer ist doch eher die 2. Aufgabe...

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