Matrizengleichung

06.09.2008, 11:04

eierkopf1

Auf diesen Beitrag antworten »

Matrizengleichung

Hallo!

Das Beispiel kann ich nicht lösen:

"Schreib das Gleichungssystem als Matrizengleichung an. Ermittle die inverse Matrix mit Hilfe von Zeilentransformationen und löse das System durch Matrizenmultiplikation."

$\begin{eqnarray*} x - z =-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2y+ z =7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x+y- z =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x - z =-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2y+ z =3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x+y- z =1 \end{eqnarray*}$

Wie stelle ich jetzt die Matrizengleichung auf?

mfg

06.09.2008, 11:33

marci_

Auf diesen Beitrag antworten »

schreibe dazu einfach die unbekannten in eine Koeffizientenmatrix A mit Ax=b, wobei x ein spaltenvektor der variablen und b deine rechte seite des LGS ist

06.09.2008, 11:35

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Machen wir doch mal ein einfaches Beispiel:
Nehmen wir das LGS
$\begin{eqnarray*} 3x-2y=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -x+y=1 \end{eqnarray*}$

Man kann die Koeffizienten der Variablen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ in eine Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ schreiben, also
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
die Unbekannten in einen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ , also
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und genauso die reche Seite des Systems in einen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Schreiben wir
$\begin{eqnarray*} A\vec{x} \end{eqnarray*}$
und berechnen wir das:
$\begin{eqnarray*} A\vec{x}=\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Multipliziere die Matrix mit dem Vektor:
$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} 3x-2y \\ -x+y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und nach Voraussetzung gilt
$\begin{eqnarray*} =\vec{b} \end{eqnarray*}$ .

Siehst du nun was du machen musst?

06.09.2008, 11:43

eierkopf1

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort!

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -2 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann ausgerechnet:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x & 0y & -z \\ 0x & 2y & 1z \\ x & y & -z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -2 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie gehts jetzt weiter?

mfg

06.09.2008, 11:47

marci_

Auf diesen Beitrag antworten »

wieso hast du das im 2. schritt noch ausgerechnet?
du kannst doch die erste matrix durch zeilenumformungen usw. lösen? (1.zeile-3.zeile als beispiel)
steht das bei dir in keinem buch/skript?

06.09.2008, 11:50

eierkopf1

Auf diesen Beitrag antworten »

kA wie ich das mit Zeilentransformation lösen sollte

unglücklich

unglücklich

mfg

Anzeige

06.09.2008, 11:51

marci_

Auf diesen Beitrag antworten »

mit was würdest du es dann lösen?

06.09.2008, 11:53

eierkopf1

Auf diesen Beitrag antworten »

Das weiß ich leider nicht traurig

traurig

Wie funktioniert diese Zeilenumformung?

mfg

06.09.2008, 11:53

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Matrixschreibung ist lediglich eine andere Schreibweise.
Hättest du das LGS ohne Matrix dastehen, dann würdest du doch sicherlich den von marci_ angesprochenen Gauss-Algorithmus nutzen.
Bei der Matrix kannst du das genauso machen. Der Vorteil von der Matrixversion ist, dass man nicht diese lästigen Unbekannten $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ die ganze Zeit schreiben muss.

06.09.2008, 11:55

eierkopf1

Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne der Matrixschreibweise wäre es überhaupt kein Problem.. Big Laugh

Big Laugh

Wenn ich zB 1. Zeile Minus 2. Zeile rechne, wie schreibe ich das dann als Matrix richtig an?

mfg

06.09.2008, 12:01

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Das schreibst du genau gleich rein, nur eben ohne das x, y oder z. Falls du dir nicht sicher bist, dann mach die ersten paar Lösungsschritte doch zunächst mal ohne Matrix, schreib für jeden Schritt die eigene Matrix und du siehst, dass man bei der Matrixversion nur mit den Zahlen in der Matrix rechnen muss.
Das Ziel ist die Dreiecksform der Matrix mit vielen Nullen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} ? & ? & ? \\ 0 & ? & ? \\ 0 & 0 & ? \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

06.09.2008, 19:22

eierkopf1

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber es steht, dass man es mit der inversen Matrix usw. lösen soll verwirrt

verwirrt

Ist das vielleicht so gemeint?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und dann die linke Seite so umgeformt, damit eine Einheitsmatrix entsteht?

mfg

06.09.2008, 19:30

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das kann man auf diese Art irgendwie machen. Dabei entsteht dann rechts die inverse Matrix.

06.09.2008, 20:22

eierkopf1

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, wie ich vorgehen muss, damit links die Einheitsmatrix entsteht. Ich weiß, dass ich die Zeilen miteinander gegenrechnen kann. Nur, dass diese gewünscht Form entsteht, habe ich keine Ahnung. Wie gehe ich am besten vor?

mfg

06.09.2008, 20:30

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Bringe zunächst mal die linke Matrix auf Zeilenstufenform.

06.09.2008, 20:30

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Lies dir das mal durch.

06.09.2008, 21:08

eierkopf1

Auf diesen Beitrag antworten »

@system-agent

Genau sowas habe ich gebraucht, dann war es nicht mehr wirklich schwer:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nur wie gehts jetzt weiter? Wie löse ich jetzt die Matrizenmultiplikation? Bzw. welche Matrizen multipliziere ich jetzt miteinander?

mfg

06.09.2008, 22:32

eierkopf1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von eierkopf1
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bei dieser Matrix habe ich mich verrechnet...

Aber dann habe ich die Inverse mit der Matrix von der rechten Seite des LGS multipliziert und kann dann $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ direkt ablesen Freude

Freude

Danke für die Hilfe!

mfg

13.09.2008, 21:04

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau. Wichtig ist dass man von der richtigen Seite multipliziert, denn Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ. Konkret:
$\begin{eqnarray*} A\vec{x}=\vec{b}\Rightarrow A^{-1}A\vec{x}=A^{-1}\vec{b}\Rightarrow E\vec{x}=A^{-1}\vec{b}\Rightarrow \vec{x}=A^{-1}\vec{b} \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ die Einheitsmatrix bedeutet.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »