Gradient und Richtungsableitung

05.06.2006, 23:35

vektorraum

Gradient und Richtungsableitung

Hi!

Hab ne Aufgabe, bei der ich noch nicht so richtig verstanden habe, was ich genau zeigen soll und überhaupt, wie ich das Problem beweisen kann:

Es sei eine reelle Funktion f=f(x) in der Umgebung eines Punktes $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ definiert und stetig diff'bar mit nichtverschwindenem Gradienten:
$\begin{eqnarray*} \left\| \nabla f(y) \right\| \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Ich soll zeigen, dass dann bei hinreichend kleinem t>0 und beliebig normierten Vektoren
$\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R^n, \left\| a \right\| = 1 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} f \left(\cfrac{y-t \nabla f(y)}{\left\| \nabla f(y) \right\|} \right) \leq f(y+ta) \leq f \left(\cfrac{y+t\nabla f(y)}{\left\| \nabla f(y) \right\|} \right) \end{eqnarray*}$ .

Ein kleiner Hinweis ist gegeben, dass also der Gradient in die Richtung des steilsten Anstiegs und der negative Gradient in die Richtung des steilsten Abstiegs zeigt.

Wär echt super, wenn mir da jemand helfen könnte!

06.06.2006, 12:02

Abakus

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RE: Gradient und Richtungsableitung
Das Thema hatten wir hier bereits. Da steht auch die richtige Ungleichung.

Grüße Abakus smile

10.06.2006, 15:54

vektorraum

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RE: Gradient und Richtungsableitung
Hi!!!

Also ich hab mir letzte Woche noch mal ne Platte über die Lösung dieser Aufgabe gemacht und hab nun doch was rausbekommen Rock

Vielleicht schaut ihr mal drüber, ob das so stimmt! Schon mal großes Dankeschön!

Sei reelle Funktion $\begin{eqnarray*} f=f(x) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} y=(y_1,...,y_n) \end{eqnarray*}$
stetig diff'bar und

$\begin{eqnarray*} \left\| \nabla f(y)\right\|=\left\|grad~f(y)\right\| \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Zu zeigen: für ein $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} \left\| a \right\|=(a_1^2+...+a_n^2)^{1/2}=1 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} f \left( y- \cfrac{t \nabla f(y)}{\left\| \nabla f(y) \right\|} \right) \leq f(y+ta) \leq f \left( y+\cfrac{t \nabla f(y)}{\left\| \nabla f(y) \right\|} \right) \end{eqnarray*}$

Beweis:

Äquivalente Aussage ist die folgende:
Ist $\begin{eqnarray*} grad~f \neq 0 \end{eqnarray*}$ , so gibt $\begin{eqnarray*} \cfrac{grad~f}{\left\| grad~f \right\|} \end{eqnarray*}$ die eindeutig bestimmte Richtung des größten, und $\begin{eqnarray*} -\cfrac{grad~f}{\left\|grad~f \right\|} \end{eqnarray*}$ die eindeutig bestimmte Richtung des kleinsten Anstiegs (steilsten Abstiegs) $\begin{eqnarray*} \cfrac{\partial f}{\partial a} (y) \end{eqnarray*}$ von f in Richtung a an.
$\begin{eqnarray*} \left\|grad~f \right\| \end{eqnarray*}$ gibt des größten und $\begin{eqnarray*} -\left\|grad~f \right\| \end{eqnarray*}$ den kleinsten Anstieg der Funktion f im Punkt y in einer Richtung an.
Wir zeigen also, dass für ein $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} -\left\|grad~f \right\| \leq \cfrac{\partial f}{\partial a} (y) \leq \left\|grad~f \right\| \end{eqnarray*}$ (*)

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \cfrac{\partial f}{\partial a} (y) = \left\|grad~f \right\| \Leftrightarrow a=\cfrac{grad~f}{ \left\|grad~f \right\|} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \cfrac{\partial f}{\partial a} (y) = \left\|grad~f \right\| \Leftrightarrow a=-\cfrac{grad~f}{ \left\|grad~f \right\|} \end{eqnarray*}$

Nun ist:

$\begin{eqnarray*} \cfrac{\partial f}{\partial a} (y) = \left\langle grad~f,a\right\rangle = \left\|grad~f \right\| \cdot \cos(\angle(grad~f,a)) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \angle(grad~f,a) \in [0,\pi] \end{eqnarray*}$

Aus letzterem und (*) folgt:

$\begin{eqnarray*} \cfrac{\partial f}{\partial a} (y) = \left\|grad~f \right\| \Leftrightarrow \angle(grad~f,a) =0 \Leftrightarrow a=\lambda~ grad~f \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Ferner:
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow a=\cfrac{grad~f}{ \left\|grad~f \right\|} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cfrac{\partial f}{\partial a} (y) = -\left\|grad~f \right\| \Leftrightarrow \angle(grad~f,a) =\pi \Leftrightarrow a=-\lambda ~grad~f \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Ferner:
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow a=-\cfrac{grad~f}{ \left\|grad~f \right\|} \end{eqnarray*}$

Und daraus folgt unmittelbar die Behauptung.
qed.

10.06.2006, 22:24

Abakus

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RE: Gradient und Richtungsableitung
Du hast die richtige Idee, aber noch keine klare Beweisführung.

Zitat:

Original von vektorraum
Zu zeigen: für ein $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} \left\| a \right\|=(a_1^2+...+a_n^2)^{1/2}=1 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} f \left( y- \cfrac{t \nabla f(y)}{\left\| \nabla f(y) \right\|} \right) \leq f(y+ta) \leq f \left( y+\cfrac{t \nabla f(y)}{\left\| \nabla f(y) \right\|} \right) \end{eqnarray*}$

Ist hier nur die Existenz von einem a zu zeigen oder soll das für alle solche a gezeigt werden? (Aufgabenstellung!)

Zitat:

Beweis:

Äquivalente Aussage ist die folgende:
Ist $\begin{eqnarray*} grad~f \neq 0 \end{eqnarray*}$ , so gibt $\begin{eqnarray*} \cfrac{grad~f}{\left\| grad~f \right\|} \end{eqnarray*}$ die eindeutig bestimmte Richtung des größten, und $\begin{eqnarray*} -\cfrac{grad~f}{\left\|grad~f \right\|} \end{eqnarray*}$ die eindeutig bestimmte Richtung des kleinsten Anstiegs (steilsten Abstiegs) $\begin{eqnarray*} \cfrac{\partial f}{\partial a} (y) \end{eqnarray*}$ von f in Richtung a an.
$\begin{eqnarray*} \left\|grad~f \right\| \end{eqnarray*}$ gibt des größten und $\begin{eqnarray*} -\left\|grad~f \right\| \end{eqnarray*}$ den kleinsten Anstieg der Funktion f im Punkt y in einer Richtung an.

Kannst du diese Äquivalenz zeigen?

Zitat:

Wir zeigen also, dass für ein $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} -\left\|grad~f \right\| \leq \cfrac{\partial f}{\partial a} (y) \leq \left\|grad~f \right\| \end{eqnarray*}$ (*)

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \cfrac{\partial f}{\partial a} (y) = \left\|grad~f \right\| \Leftrightarrow a=\cfrac{grad~f}{ \left\|grad~f \right\|} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \cfrac{\partial f}{\partial a} (y) = \left\|grad~f \right\| \Leftrightarrow a=-\cfrac{grad~f}{ \left\|grad~f \right\|} \end{eqnarray*}$

Wenn du das obere zeigen möchtest, wieso folgerst du dann etwas aus der Behauptung? (falsche Schlußrichtung)

Grüße Abakus smile

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