Asymptote

06.09.2008, 16:22

mksmith

Asymptote

Hallo!

Ich habe eine Aufgabe, wo man eine Funktionschar diskutieren soll:

$\begin{eqnarray*} y=ft(x)=(e^x -t)^{2} \end{eqnarray*}$

t=1

Nun soll ich dazu eine Asymptote bestimmen. Wie soll ich das bloß machen? Weiss es jemand? Bei Wikepedia gibt es nur Beispiele mit einfachen Brüchen nach dem Prinzip wie 1/x, aber nicht so etwas wie bei mir mit e. Hilfe traurig

06.09.2008, 16:28

mYthos

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Bitte nicht um Hilfe rufen und weinen!
Eine Skizze wirkt oft Wunder!

Was passiert, wenn $\begin{eqnarray*} x \to -\infty \end{eqnarray*}$ geht?

mY+

06.09.2008, 16:36

mksmith

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Laut der Skizze hat der Graf eine Polstelle bei 1.
Ist die Asymptote dann Y=1 ?

06.09.2008, 17:27

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von mksmith
Graf

Bitte, es heißt Graph.

Zitat:

Original von mksmith
Laut der Skizze hat der Graf eine Polstelle bei 1.

Wo siehst du hier eine Polstelle?

Zitat:

Original von mksmith
Ist die Asymptote dann Y=1 ?

Ja, aber das hat nichts mit der vermeintlichen "Polstelle" zu tun (zumindest nicht für die horizontale Asymptote). Du musst viel mehr den Grenzwert für $\begin{eqnarray*} x \to -\infty \end{eqnarray*}$ bestimmen, wie mythos schon gesagt hat.

06.09.2008, 17:35

gugelhupf

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reicht es denn, wenn man einfach große minuszahlen einsetzt?

06.09.2008, 17:38

Q-fLaDeN

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Naja, man kann den Grenzwert doch ganz einfach berechnen:

$\begin{eqnarray*} f_t(x)=(e^x -t)^{2} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} x \to -\infty \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} e^x = 0 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (0-t)^2 = g \end{eqnarray*}$

Grüße Wink

06.09.2008, 17:48

gugelhupf

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ja und von was weiß man, dass e^x=0 wird?

06.09.2008, 17:49

system-agent

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Zitat:

Original von gugelhupf
ja und von was weiß man, dass e^x=0 wird?

Indem man es bewiesen hat.

06.09.2008, 17:50

gugelhupf

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ääähm?

06.09.2008, 17:53

Q-fLaDeN

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Wie genau man das beweist, kann ich dir auch nicht sagen, da muss dir system-agent helfen. Ich mach das immer so:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty}~e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-\infty} = \frac{1}{e^\infty} \end{eqnarray*}$

Dadurch wird der Nenner immer größer, der Zähler bleibt aber 1. Also strebt der Ausdruck gegen 0.

$\begin{eqnarray*} e^{-\infty} = \frac{1}{e^\infty}= 0 \end{eqnarray*}$

Mathematisch korrekt ist das sicher nicht, aber dadurch leichter zu berechnen.

06.09.2008, 17:55

gugelhupf

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ich weiß ja nicht, aber ich würde bei e-fkt immer nur große werte einsetzen und meine nachhilfelehrerin hat mir das auch geraten. aber ich halte nicht so viel von ihr.
ist e^x bei grenzwerten immer gegen null?

also schon

06.09.2008, 17:57

system-agent

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Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Wie genau man das beweist, kann ich dir auch nicht sagen, da muss dir system-agent helfen. Ich mach das immer so:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty}~e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-\infty} = \frac{1}{e^\infty} \end{eqnarray*}$

Dadurch wird der Nenner immer größer, der Zähler bleibt aber 1. Also strebt der Ausdruck gegen 0.

$\begin{eqnarray*} e^{-\infty} = \frac{1}{e^\infty}= 0 \end{eqnarray*}$

Mathematisch korrekt ist das sicher nicht, aber dadurch leichter zu berechnen.

Wenn man hat, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}e^x=\infty \end{eqnarray*}$ ist, dann kann man aus genau der Idee den Beweis machen.

Das mit dem Einsetzen grosser Zahlen ist OK, solange man sich bewusst ist, dass dies keine Begründung/Beweis ist.

06.09.2008, 18:00

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von gugelhupf
ist e^x bei grenzwerten immer gegen null?

Was willst du damit sagen? Natürlich nicht.

Für $\begin{eqnarray*} x \to x_0~\text{und}~x \to \infty \end{eqnarray*}$ ist sie natürlich nicht 0.

\Edit:

Zitat:

Original von system-agent
Wenn man hat, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}e^x=\infty \end{eqnarray*}$ ist, dann kann man aus genau der Idee den Beweis machen.

Muss man dafür nicht vorerst beweisen, dass diese Aussage stimmt?

06.09.2008, 18:01

gugelhupf

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ja das dachte ich eigentlich auch. aber ich kann doch nicht in jeder grenzwertberechnung das e^x beweisen.

06.09.2008, 18:03

system-agent

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Das musst du auch nicht. Man erfindet auch nicht immer das Rad neu wenn man Auto fahren will. Einmal beweisen und dann hat man das begründet und man weiss, dass dies gilt.

06.09.2008, 18:04

Q-fLaDeN

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Musst du auch nicht. Wenn du die Aufgabe hast: Berechne den Grenzwert für $\begin{eqnarray*} x \to -\infty \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ kannst du einfach schreiben:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty}~e^x = 0 \end{eqnarray*}$

\E: Zu spät.

06.09.2008, 18:06

gugelhupf

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achso ja, das meinte ich ja damit, ob es immer gilt.

was muss ich bei +unendlich schreiben?

06.09.2008, 18:07

Q-fLaDeN

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$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}~e^x = \infty \end{eqnarray*}$

06.09.2008, 18:09

gugelhupf

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mh, es gibt doch aber auch efktionen die nach rechts hin sich an 0 annährend und links positiv gehen.

06.09.2008, 18:10

mYthos

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Zitat:

Original von Q-fLaDeN
...
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty}~e^x = 0 \end{eqnarray*}$
...

.. und daraus dann

$\begin{eqnarray*} \ldots = \lim_{x \to \infty}~e^{-x} = \lim_{x \to \infty}~\frac{1}{e^x} = 0 \end{eqnarray*}$

Dieser Schritt ist essentiell.

Zitat:

Original von gugelhupf
mh, es gibt doch aber auch efktionen die nach rechts hin sich an 0 annährend und links positiv gehen.

Ja, sicher, z.B. eben die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = e^{-x} \end{eqnarray*}$

mY+

08.09.2008, 11:38

mksmith

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Vielen Dank Leute! Ich habe so viele Antworten gekriegt, danke für eure Hilfe smile

Aber warum ist die Asymptote 1, wenn es gegen null geht? Muss die Asymptote hier eine Gerade sein oder kann auch eine quadratische Gleichung sein oder so?

08.09.2008, 11:47

Jacques

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Es geht doch nur die "Teilfunktion" $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \to -\infty \end{eqnarray*}$ gegen 0, die gesamte Funktion hat dabei den Grenzwert 1.

Zitat:

Original von mksmith

Muss die Asymptote hier eine Gerade sein oder kann auch eine quadratische Gleichung sein oder so?

Also in diesem Fall kann sie nur eine Gerade sein, weil sich die Funktion eben der Geraden y = 1 unendlich annähert.

08.09.2008, 12:01

mksmith

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Ach so alles klar, danke. Kennst du auch Beispiele wo die Asymptote keine Gerade ist? Wie kann ich in den anderen Beispielen erkennen ob sie eine Gerade ist oder eben nicht?

08.09.2008, 12:31

Jacques

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Also ich kenne gekrümmte Asymptoten nur von Wikipedia, nicht von der Schule.

Habt Ihr tatsächlich auch Parabeln usw. als mögliche Asymptoten definiert? Denn m. E. werden in der Schule nur Geraden behandelt.

08.09.2008, 14:04

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von mksmith
Ach so alles klar, danke. Kennst du auch Beispiele wo die Asymptote keine Gerade ist? Wie kann ich in den anderen Beispielen erkennen ob sie eine Gerade ist oder eben nicht?

Parabeln als Asymptoten entstehen immer dann, wenn der höchste Grad des Zählerpolynoms genau um 2 größer ist, als der höchste Grad des Nennerpolynoms.

Z. B.

$\begin{eqnarray*} \frac{x^3+2x^2-x+4}{x+1} \end{eqnarray*}$

08.09.2008, 16:22

mksmith

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Super und wie komme ich von dieser Gleichung auf die Parabel als Asymptote? Wenn ich Lim X gegen Unendlich mache, kriege ich unendlich raus. Ist es richtig? Wie kommt man dann auf die Parabel? Danke schon mal für die Tipps.

08.09.2008, 16:28

Q-fLaDeN

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Genau so, wie sonst auch, Polynomdivision.

08.09.2008, 20:38

mksmith

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Ist dann die Asymptote
y=X²+X-2 ?

08.09.2008, 20:53

Airblader

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Korrekt

air

08.09.2008, 22:04

mksmith

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Noch eine Frage: bei der Polynomdivision bleibt je ein Rest übrig. Spielt das für die Asymptotengleichung-Findung eine Rolle? Oder kann man den Rest einfach "zur Seite schieben" und nicht mehr beachten?

08.09.2008, 22:19

Airblader

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Wie bist du denn auf deine (schiefe) Asymptote gekommen, wenn du das nicht weißt verwirrt

Zur Beantwortung:

Nach der Polynomdivision hast du

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2+x-2+\frac{6}{x+1} \end{eqnarray*}$

Jetzt überlegt man folgendes:
Für $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ verschwindet der letzte Summand (d.h. er strebt gegen Null).
Die Funktion, die sich aus den restl. Summanden zusammensetzt, nähert sich also immer näher f(x) an, denn sie unterscheiden sich ja nur um diesen letzten Summanden, der eben gegen Null strebt.

Kurz gesagt:
'Verwerfe' die Summanden, die gegen Null streben.

Es bleibt also

$\begin{eqnarray*} a(x) = x^2+x-2 \end{eqnarray*}$

als (schiefe) Asymptote.

air

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