Grenzwert einer Reihe

06.06.2006, 12:47	Romero	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer Reihe Hallo, folgende Reihe ist gegeben: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n~\left(e^{ik\Phi}+e^{-ik\Phi}\right) \cdot r^k \end{eqnarray}$ Mit $\begin{eqnarray} \Phi \in \left[0, 2\pi \right], r \in \left[0,1\right[ \end{eqnarray}$ . Gefragt ist, ob die Reihe konvergiert und was der Grenzwert für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ ist. Konvergenz habe ich über die Regeln zur Potenzreihe bereits gezeigt (einfach den Konvergenzradius ausrechnen). Mir geht es nur noch um den Grenzwert der Reihe. Mir ist bekannt, dass man die Reihe nach der Formel von Euler-Moivre umschreiben kann: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~\cos\left(k\cdot\Phi\right) \cdot r^k \end{eqnarray}$ Trotzdem fehlt mir jeglicher Ansatz, um dies zu bewerkstelligen. Hat einer eine Idee? Mfg
06.06.2006, 14:42	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Die erste Form $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n~\left(e^{ik\Phi}+e^{-ik\Phi}\right) \cdot r^k \end{eqnarray}$ ist doch viel eher geeignet, um Aussagen zur Konvergenz bzw. Reihenwert zu machen. Als Gedankenstütze $\begin{eqnarray} e^{ik\Phi} \cdot r^k = \left( e^{i\Phi} \cdot r\right)^k \end{eqnarray}$ und das Stichwort "geometrische Reihe".
06.06.2006, 17:01	Romero	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Arthur, Das letzte Stichwort, was du mir gegeben hast, war genau das, was mir gefehlt hat. Vielen Dank, so gehts! Ich hatte mich mit meiner Umformung gegen eine Wand manövriert. Grüßle Romero

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