Zahlenfolge

06.06.2006, 12:59

DGU

Zahlenfolge

Sei (a_n) die Folge der ersten Ziffern der 2er-Potenzen. Ich soll beweisen, dass jede Ziffer unendlich oft vorkommt.

Meine Ideen bis jetzt:

Die Übergänge für jeweils die ersten Ziffern sind:
1 --> 2 | 3
2 --> 4|5
3 --> 6|7
4 --> 8|9
5,6,7,8,9 --> 1

und bei den Endziffern hat die Folge 2,4,8,6,... die Periode 4, wobei beim 3. und 4. Schritt ein Zehnerübertrag stattfindet.

Irgendwie müsste ich das kombinieren können, um zu zeigen, dass jede Ziffer unendlich oft vorkommt, nur atm hängts bei mir. Hat jemand einen Vorschlag? Danke!

06.06.2006, 13:44

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Es gibt verschiedene Möglichkeiten das nachzuweisen, letztendlich genügt die Irrationalität von $\begin{eqnarray*} \lg 2 \end{eqnarray*}$ um zur Aussage zu gelangen, dass jede beliebige Anfangsziffernfolge (also nicht nur eine Ziffer) unendlich oft in der Zweierpotenzenreihe vorkommt.

Aber ein "einfacher" Beweis kann z.B. so aussehen: Man betrachte nur jede zehnte Zweierpotenz, also $\begin{eqnarray*} a_n=2^{10n} \end{eqnarray*}$ und davon die erste Ziffer $\begin{eqnarray*} z_n \end{eqnarray*}$ .

Dann gibt es wegen $\begin{eqnarray*} 9\cdot 1.024 = 9.216 < 10 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z_n\to z_{n+1} \end{eqnarray*}$ nur die Übergänge

$\begin{eqnarray*} 1\to 1,2 \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} 2\to 2,3 \end{eqnarray*}$ ,
...
$\begin{eqnarray*} 8\to 8,9 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} 9\to 9,1 \end{eqnarray*}$ ,

wegen $\begin{eqnarray*} 1.024>1 \end{eqnarray*}$ aber auch kein konstantes "Verharren" in einer Ziffernposition.

06.06.2006, 14:13

DGU

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Herzlichen Dank, Arthur!
Mir ist dieses Argument noch nicht ganz klar, warum berechnest du 9 * 1024 und warum folgen daraus die Übergänge?

Zitat:

Original von Arthur Dent
Dann gibt es wegen $\begin{eqnarray*} 9\cdot 1.024 = 9.216 < 10 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z_n\to z_{n+1} \end{eqnarray*}$ nur die Übergänge

$\begin{eqnarray*} 1\to 1,2 \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} 2\to 2,3 \end{eqnarray*}$ ,
...
$\begin{eqnarray*} 8\to 8,9 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} 9\to 9,1 \end{eqnarray*}$ ,

06.06.2006, 14:18

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Wenn $\begin{eqnarray*} z\cdot 1.024 < z+1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} 1.024 < 1+\frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z=9 \end{eqnarray*}$ gilt, dann erst recht auch für $\begin{eqnarray*} z=1,2,\ldots,8 \end{eqnarray*}$ . Und das bedeutet, dass bei $\begin{eqnarray*} z_n\to z_{n+1} \end{eqnarray*}$ keine Ziffer "übersprungen" werden kann, also $\begin{eqnarray*} 5\to7 \end{eqnarray*}$ o.ä.

06.06.2006, 14:21

DGU

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super, das hat mir weitergeholfen

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