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06.06.2006, 16:18	People	Auf diesen Beitrag antworten »
Norm Zum Beweis das die Maximumsnorm $\begin{eqnarray} \|\|v\|\|_{\infty} := max(\|v_k\|: 1 \leq k \leq n) \end{eqnarray}$ eine Norm ist (v sei ein n-dimensionaler Vektor: Die Homogenität ist klar, die positivität auch. Bleibt noch zu zeigen, dass gilt: $\begin{eqnarray} \|\|v+w\|\|_{\infty} \leq \|\|v\|\|_{\infty} + \|\|w\|\|_{\infty} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|\|v+w\|\|_{\infty} = max(\|v_k + w_k\|) \leq max(\|v_k\|+\|w_k\|) \end{eqnarray}$ () Soweit ist noch klar. Jetzt steht da: () $\begin{eqnarray} \leq max(\|v_k\|) + max(\|w_k\|) = \|\|v\|\|_{\infty} + \|\|w\|\|_{\infty} \end{eqnarray}$ Warum das letzte Kleiner gleich? Muss da nicht ein = hin? Wenn nein, kann mir dann mal jemand erklären warum kleiner gleich?
06.06.2006, 16:49	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ich mich richtig erinnere hatten wir in der übung ein beispiel dafür, dass da echt kleiner steht, meistens gilt wohl gleich... Aber mir fällt es leider nicht mehr ein. mfG 20
06.06.2006, 16:53	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
< ist schon richtig: Schließlich kann das Maximum von $\begin{eqnarray} \|v_k\| \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|w_k\| \end{eqnarray}$ für verschiedene Indizes $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ angenommen werden!
06.06.2006, 17:08	People	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Dann wär dies ja ein Gegenbeispiel, oder? $\begin{eqnarray} v = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|\|v+w\|\| = \|\|\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\|\| = 4 = \|4\| = \|3 + 1\| \leq \|3\| + \|1\| \leq \|\|v\|\| + \|\|w\|\| = \|3\| + \|-2\| = 5 \end{eqnarray}$
06.06.2006, 18:42	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Gegenbeispiel für die besagte Gleichheit, ja.
06.06.2006, 18:58	Ambrosius	Auf diesen Beitrag antworten »
zum Thema Norm hab ich auch noch ne Frage: Sei V ein normierter Vektorraum. $\begin{eqnarray} v_n \end{eqnarray}$ sei Folge in V. $\begin{eqnarray} v_0 = lim (v_n) \end{eqnarray}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray} lim \|\|v_n\|\| = \|\|lim (v_n)\|\| = \|\|v_0\|\| \end{eqnarray}$ Ich schätze $\begin{eqnarray} \|\|v_n\|\| \end{eqnarray}$ nach oben und unten wie folgt ab: $\begin{eqnarray} \|\|v_0\|\| - \|\|v_0 - v_n\|\| \leq \|\|v_n\|\| \leq \|\|v_0\|\| + \|\|v_n - v_0\|\| \end{eqnarray}$ Wendet man nun den Limes an, so geht $\begin{eqnarray} \|\|v_n - v_0 \|\| \end{eqnarray}$ gegen 0, und die Behauptung ist gezeigt. Ist der Beweis so korrekt? In meinen Unterlagen steht nämlich das die beiden Außenseiten der Ungleichung gegen 0 konvergieren, aber dann wäre ja auch $\begin{eqnarray} \|\|v_n\|\| =0 \end{eqnarray}$ . Von daher denk ich das da ein Fehler in meinem Skript ist.
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06.06.2006, 19:03	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Du willst aus $\begin{eqnarray} lim \|\|v_n\|\| = \|\|v_0\|\| \end{eqnarray}$ die Konvergenz von $\begin{eqnarray} \|\|v_n - v_0 \|\| \end{eqnarray}$ gegen 0 folgern? Das kann gar nicht klappen, weil es i.a. falsch ist. In umgekehrter Richtung wird ein Schuh draus.
06.06.2006, 19:19	Ambrosius	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm, das stimmt natürlich... in meinen unterlagen steht es so: $\begin{eqnarray} \underbrace{\|\|v_0\|\| - \|\|v_0 - v_n\|\|}_{\to 0} \leq \|\|v_n\|\| \leq \|\underbrace{\|v_0\|\| + \|\|v_n - v_0\|\|}_{\to 0} \end{eqnarray}$ Daraus folgt dann schon: $\begin{eqnarray} lim \|\|v_n\|\| = \|\|v_0\|\| \end{eqnarray}$ Das raff ich nun aber überhaupt nicht
06.06.2006, 21:58	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht gehen einfach nur deine geschweiften Klammern zu weit, und es war so gemeint: $\begin{eqnarray} \\|v_0\\| - \underbrace{\\|v_0 - v_n\\|}_{\to 0} \leq \\|v_n\\| \leq \\|v_0\\| + \underbrace{\\|v_n - v_0\\|}_{\to 0} \end{eqnarray}$
06.06.2006, 21:59	Ambrosius	Auf diesen Beitrag antworten »
das meinte ich ja in meinem vorletzten beitrag. aber warum geht das denn gegen 0?
06.06.2006, 22:02	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgenkonvergenz $\begin{eqnarray} v_n\to v_0 \end{eqnarray}$ in einem normierten Raum ist äquivalent zu $\begin{eqnarray} \\|v_n-v_0\\|\to 0 \end{eqnarray}$ , so ist die Topologie da nun mal konstruiert!

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