Ebenengleichungen und Abstand bestimmen

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Ebenengleichungen und Abstand bestimmen
So sieht die Aufgabe aus und ich habe leider absolut ka wie ich die anpacken soll. Bei Lösung Vorschlägen bedenken das kein Taschenrechner benutz werden darf.

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mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Taschenrechner werden bei diesen Angaben/Aufgaben meistens sowieso nicht benützt, keine Sorge.

Welche Ansätze hast du bisher schon versucht und wobei hast du Probleme?
Bitte bedenke, dass dem Prinzip "Mathe online verstehen!" zufolge die Initiative zunächst von dir ausgehen sollte. Bei konkreten Fragen deinerseits wird dir sicher geholfen werden.

Ein Hinweis sei gegeben: Zu Bestimmung der Ebenengleichung sind entweder ein Stützpunkt und zwei Richtungsvektoren oder alternativ ein Punkt und der Normalvektor der Ebene nötig.

mY+
 
 
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Das Problem fängt ja schon bei der a an, von diesem aufgaben typ habe ich weder Bespiele noch andere Lösungen.
?? Auf diesen Beitrag antworten »

Hat noch wer konkrete Lösungsvorschläge?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

In a) ist die Gleichung einer Ebene gesucht und du sollst Vektorrechnung verwenden. Dann schreib doch mal die allgemeine Gleichung einer Ebene in Parameterform auf. Danach reden wir darüber, wie du da die Angaben aus der Aufgabe hineinbringen kannst.
?? Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es mit dieser Formel versucht, aber mir schein es ist nicht richtig zu sein.
delta r1 \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}
delta R \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}
delta r \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}
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E=+Lambda

so
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst etwas mit dem Formeleditor üben. Der hat auch eine Vorschaufunktion.
Da kannst du sehen ob Latex dich versteht.

Ich versuche mal zu übersetzen:

Allgemeine Gleichung der Ebene:



Und aus den Angaben der Aufgabe hast du geschlossen:



Das wäre richtig. Dann sollten die Geradengleichungen der Stützen doch auch kein Problem sein.
?? Auf diesen Beitrag antworten »

ich würde sagen das ist die

?? Auf diesen Beitrag antworten »

Ebenengleichung



Geradengleichung



Also das wäre dann die Lösung für a) ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Das soll offenbar die Stützgerade durch P1 sein. Die geht noch durch P4. Und deshalb ist der Vektor hinter nicht richtig. Das musst du noch mal überprüfen. Und dann fehlen noch die beiden anderen Stützgeraden.

Die Ebenengleichung ist richtig.
?? Auf diesen Beitrag antworten »







so ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist jetzt richtig, bis auf einen kleinen Fehler bei der dritten Geraden duch P3 und P6. Da stimmt die z-Komponente des Vektors hinter noch nicht.

Wenden wir uns nun der Ebenengleichung der Stützplatte zu. Ich schlage vor, wir verwenden zur Unterscheidung dort überall s bzw. S anstatt r und R. Was kann man aus den Informationen 'parallel' und 'Abstand = -2' machen? Hast du Ideen?
?? Auf diesen Beitrag antworten »

Die z Komponenten der stützplatte ist um 2 kleiner als die von der platte.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Teil a) komplett gelöst! War doch nicht so schwer oder? Freude
?? Auf diesen Beitrag antworten »

wie muss ich bei b) vorgehen ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schreibe noch mal die beiden Ebenengleichungen hin:

Arbeitsplatte


Stützplatte


Die Ebenengleichung besteht aus einem Ortsvektor und zwei Richtungsvektoren. Das sind die Vektoren hinter und . Die Richtungsvektoren bestimmen, wie der Name sagt, die 'Richtung' der Ebene. Wenn nun die Arbeitsplatte und die Stützplatte parallel sind, was sagt das über ihre Richtungsvektoren?
?? Auf diesen Beitrag antworten »

das diese gleich sind ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig!
Parallel bedeutet gleiche Richtung.

Damit fehlt uns nur noch ein Ortsvektor für die Stützplatte. Der Ortsvektor ist ein Vektor, der vom Ursprung des Koordinatensystems zu einem beliebigen Punkt der Ebene zeigt. Wir brauchen also einen einzigen Punkt auf der Stützplatte. Den können wir als Ortsvektor benutzen.

Die vorhandene Information ist der Abstand. Der Abstand wird immer senkrecht gemessen. Wenn ein Vektor senkrecht auf der Arbeitsplatte steht, dann führt er zur Stützplatte, wenn seine Länge gleich dem gegebenen Abstand ist.

Wie bekommt man einen Vektor, der senkrecht auf der Arbeitsplatte steht?
?? Auf diesen Beitrag antworten »

kA
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist schlecht!

Wenn ein Vektor senkrecht auf einer Ebene stehen soll, dann muss er senkrecht auf den Richtungsvektoren der Ebene stehen. Ihr habt garantiert eine Operation mit zwei Vektoren im Unterricht durchgenommen, die einen Vektor ergibt, der auf diesen beiden senkrecht steht.

Welche Operation ist das?
Und sag bitte nicht einfach k. A.
Blättere mal in deinen Unterlagen und strapaziere die Gehirnzellen!
?? Auf diesen Beitrag antworten »

Blättern hilft da nicht, weil zum blättern nichts da ist. Ich habe nur 2d Vektor aufgaben gemacht und das ist auch schon über 1,5 Jahre her.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu ist zu bemerken, dass es ab hier zwei verschiedene Wege gibt, entweder den Normalvektor vom Stützpunkt an um 2 Einheiten verlängern oder verkürzen (mehr rechenintensiv), oder mittels der HNF (Hesse'schen Normalform) die beiden möglichen parallelen Ebenen im Abstand 2 erstellen. In beiden Fällen muss man noch aufpassen, dass man die "richtige" Richtung erwischt.

Bei der 2. Methode braucht man keinen Stützpunkt, allerdings muss die Ebene (ohnehin) in die Normalvektorform gebracht werden.

mY+
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Du irriitierst mich. Ihr könnt doch nicht 3d-Vektoraufgaben bekommen und habt dazu nichts durchgenommen.

Wie dem auch sei, die gesuchte Operation ist das Vektorprodukt. Das Vektorprodukt steht auf den Vektoren und senkrecht.

Kennst du das Vektorprodukt? Weißt du, wie man es berechnet?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

@mYthos

Danke für den Hinweis.
Ich habe diesen Weg (HNF) vermieden, weil bei bei dem Fragenden viel Basiswissen zu fehlen scheint.
?? Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist ich muss ne Klausur nachschreiben, vor 1,5 Jahren bestand diese noch aus 4 Aufgaben und jetzt nur noch aus 2 und wie es aussieht wurden auch die themengebiete geändert.

Diese Operation kenne ich, nur nicht unter dem Namen.
Welche muss ich denn nun ausrechnen r12 x r23 ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist kein anderer Name für das Vektorprodukt bekannt.
Du musst das Vektorprodukt aus den beiden Richtungsvektoren der Arbeitsplatte bilden, d.h. du musst



berechnen. Schreib bitte die Rechnung im Detail auf. Wenn etwas nicht stimmt, kann ich so erkennen, wo der Fehler ist.
?? Auf diesen Beitrag antworten »



Ich behaupte mal das ist richtig
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Behauptung stimmt.
Nun gilt es zu prüfen, ob der Vektor nach oben oder nach unten zeigt. Die Stützplatte ist ja unterhalb der Arbeitplatte. Falls notwendig, muss er umgedreht werden. Und dann muss er auf die richige Länge gebracht werden.

Was meinst du dazu?
?? Auf diesen Beitrag antworten »

Wie überprüft man die Richtung?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Schau dir mal die Zeichnung an. Ist die z-Komponente der Stützplatte größer oder kleiner als die der Arbeitsplatte? Und wenn man den gefundenen senkrechten Vektor zu einem Ortsvektor der Arbeitsplatte addiert, wird dann z größer oder kleiner?
?? Auf diesen Beitrag antworten »

Mit -14 eindeutig kleiner. Wenn man zum r1 addiert wird aus -14 -10 also größer oder nicht oder spielt das minus keine rolle?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst schon die Vorzeichen beachten. Die Stützplatte liegt niedriger als die Arbeitsplatte, d. h. ihre z-Werte sind an derselben (x,y)-Stelle kleiner als die der Arbeitsplatte. Wenn wir von r1 ausgehen, wo z = 4 ist, ergibt die Addition von -14 den Wert -10. Und -10 ist kleiner als 4.

Der senkrechte Vektor zeigt also schon wie gewünscht nach unten. Man muss ihn nur noch auf die richtige Länge bringen.
?? Auf diesen Beitrag antworten »

Und das macht man wie, so ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

So bringt man ihn auf die Länge 1. Dann muss man ihn noch mit der gewünschten Länge multiplizieren. Diesen Vektor addiert man dann zu einem Punkt der Arbeitsplatte und erhält einen Punkt der Stützplatte. Diesen Punkt kann man als Ortsvektor für die Gleichung der Stützplatte verwenden. Damit ist die Ebenengleichung der Stützplatte komplett.

Durch Gleichsetzen der Ebenengleichung der Stützplatte mit jeweils einer der Geradengleichungen der Stützen findet man die Punkte P7, P8 und P9. Die Koordinaten dieser Punkte ergeben die gesuchten Werte L1, L2, L3 der Stützplatte. Damit ist der Lösungsweg komplett.

Etwas irritiert bin ich, weil die Länge unseres Normalenvektors nicht ganzzahlig ist. Ich hoffe, ich habe da keinen Rechen- oder Schreibfehler übersehen. Am besten kontrollierst du die bisherigen Zahlen noch mal.

Ich verabschiede mich für heute, schaue mir aber morgen deine Fortschritte wieder an.
?? Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist doch der normal Vektor oder wie nenne ich den?

und das ist dann die länge von dem.



und die gewünschte länge ergibt sich aus was ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ein Normalenvektor zu der Ebene der Arbeitsplatte. Seine Länge ist . Indem man ihn durch seine Länge teilt, erhält man einen Vektor der Länge 1.
Die gewünschte Länge ist der in Aufgabe genannte Abstand A zwischen den beiden Ebenen.

In der Aufgabe steht A = -2a. Das macht mich stutzig, weil senkrecht zur Ebene gar kein Vorzeichen definiert ist. Es könnte also mit A auch einfach der Unterschied in der z-Koordinate der beiden Ebenen gemeint sein. Dazu passt auch, dass mit A senkrecht zur Ebene die weitere Rechnung zu krummen Zahlen führt. Wie verstehst du die Aufgabe?
?? Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es auch so verstanden das die stütze in Vergleich zu platte 2 tiefer ist.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Dann machen wir mit dieser Annahme weiter. So kannst du direkt die Gleichung der Ebene der Stützplatte hinschreiben.

Die Berechnung des Normalenvektors wird nicht gebraucht. Aber vielleicht ist dir das bei anderer Gelegenheit nützlich.
?? Auf diesen Beitrag antworten »

wie?
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