Satz von Pappus-Pascal

06.06.2006, 18:37	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Pappus-Pascal Hi! Es seien L und L' Geraden in der projektiven Ebene und $\begin{eqnarray} P_1, P_2, P_3 \in L, Q_1, Q_2, Q_3 \in L' \end{eqnarray}$ jeweils in allgemeiner Lage. Ferner sei $\begin{eqnarray} A=P_1Q_2 \cap P_2Q_1, B=P_2Q_3 \cap P_3Q_2, C=P_1Q_3 \cap P_3Q_1 \end{eqnarray}$ . Wir sollen zeigen, dass dann die Punkte A, B, C auf einer Geraden liegen... Erste Bitte: Könnte von euch mal jemand hier ein kleines Bildchen reinstellen, damit man sich das besser vorstellen kann. Ich hab da noch nicht so viel Erfahrung mit den Programmen. Wär aber echt gut Dann zum Beweis: Ich hab mir erstmal überlegt, dass man die Punkte ja in projektiven Koordinaten schreiben kann: $\begin{eqnarray} [P_1],...[Q_3] \end{eqnarray}$ . Und dann: $\begin{eqnarray} P_1 Q_2: [\lambda_1 P_1 + \mu_2 Q_2]\\P_2 Q_1: [\lambda_2 P_2 + \mu_1 Q_1]\\P_2 Q_2: [\lambda_2 P_2 + \mu_3 Q_3]\\P_3 Q_2: [\lambda_3 P_3 + \mu_2 Q_2]\\P_1 Q_3: [\lambda_1 P_1 + \mu_3 Q_3]\\P_3 Q_1: [\lambda_3 P_3 + \mu_1 Q_1]\\ \end{eqnarray}$ Nun exisiteren also diese 3 Punkte A, B, C, die auf einer Geraden liegen. Also: $\begin{eqnarray} [A] = [\lambda_1 P_1 + \mu_2 Q_2] = [\lambda_2 P_2 + \mu_1 Q_1]\\<br /> [B] = [\lambda_2 P_2 + \mu_3 Q_3] = [\lambda_3 P_3 + \mu_2 Q_2]\\<br /> [C] = [\lambda_1 P_1 + \mu_3 Q_3] = [\lambda_3 P_3 + \mu_1 Q_1] \end{eqnarray}$ Ich hab nun zwei Ideen, wie ich das nun lösen könnte... Erstens, ich konstruiere mir eine Gerade durch die Punkte A und B und überprüfe, ob der Punkt C auch drauf liegt. Hier weiß ich aber nicht, wie ich mit dem oben angegebenen eine Gerade konstruieren soll!?!?!? Kann mir da jemand weiterhelfen??? Oder ich mache es über einen Satz, den wir mal in der Vorlesung hatten der besagt, dass drei Punkte des projektiven Raums auf einer Geraden liegen, wenn sie in ihrem Körper linear abhängig sind. Aber wie kann ich das auf mein Problem hier anwenden??!!? Oder ist meine Idee voll falsch?!!?? Schon mal dankeschön!!!
07.06.2006, 16:29	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Obwohl es vom Niveau schon in die HöMa gehören könnte, verschieb ich es mal in die Geometrie. Denn da lauern die waren Experten für deine Aufgabe! *verschoben*
07.06.2006, 18:28	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
mit einem bilderl zur ankurbelung der phantasie kann ich dienen werner
07.06.2006, 21:42	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
@wernerrin: danke für das Bild Hat jemand nun ne Idee oder schlägt jemand was vor zu meiner Lösung???

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