Projektivität

06.06.2006, 18:58	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Projektivität Hi!!! Ich hab so meine Probleme mit dem projektiven Raum... Ich glaub, da muss mich mal einer richtig aufklären, wie ich das ganze zu verstehen hab. Was ist denn nun der fulminante Unterschied zu allen anderen Räumen. Bisher weiß ich, dass das der Raum ist, in dem alle Geraden durch die Null gehen... Aber wie hab ich z.B. folgende Geradengleichung zu verstehen: $\begin{eqnarray} {[x:1:0] \| x \in K} \end{eqnarray}$ Oder wenn ein Punkt folgendermaßen gegeben ist: $\begin{eqnarray} P=[\lambda : 1 : 0] \end{eqnarray}$ Und dann sollen wir auch noch folgendes zeigen, dass wenn $\begin{eqnarray} f: V \rightarrow V \end{eqnarray}$ linear und bijektiv ist, dass dann f eine bijektive Abbildung $\begin{eqnarray} \tilde{f} :\mathbb P (V) \rightarrow \mathbb P (V) \end{eqnarray}$ induziert... Also ich hab erstmal nur dass zusammengetragen was ich weiß: K-linear ist klar, bijektiv heißt doch, dass dann auch eine eindeutige Umkehrabbildung existiert. Außerdem gilt: $\begin{eqnarray} dim \mathbb P (V) = dim V - 1 \end{eqnarray}$ Reicht es hier zu sagen, dass die Projektivität dadurch induziert wird, dass wir in P(V) einen ausgezeichneten festen Nullpunkt haben??? Glaube ich eher weniger, dass das reicht... Und was hab ich unter diesem Ausdruck zu verstehen: Die Gruppe der Projektivitäten (s.o.) soll isomorph sein zu $\begin{eqnarray} PGl_n (K) = Gl_n (K) / ~ \end{eqnarray}$ wobei A ~ B, falls $\begin{eqnarray} A= \lambda B \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} \lambda \in K \end{eqnarray*}$ Dankeschön...
06.06.2006, 22:35	quarague	Auf diesen Beitrag antworten »
man definiert einen n-dim projektiven Raum über einem Körper K als $\begin{eqnarray} (K^{n+1})^ / K^* \end{eqnarray}$ also der n+1-dimensionale Vektorraum über diesem Körper ohne die Null faktorisiert nach dem Körper ohne Null. ein Punkt im projektiven Raum wird dann immer als Äquivalenzklasse eines Punktes in $\begin{eqnarray} K^{n+1} \end{eqnarray}$ geschrieben, das soll durch die Doppelpunkte (für Verhältnisse) und die eckigen Klammern verdeutlicht werden. der Punkt $\begin{eqnarray} P=[\lambda:1:0] \end{eqnarray}$ ist also ein Punkt in einem 2-dim projektiven Raum, du könntest genau den gleichen Punkt auch durch einen anderen Repräsentanten der Form [x\lambda:x:0][/latex] angeben, wobei x eine beliebige Zahl in K* ist. ich hoffe damit kannst du dir ungefähr vorstellen, wie so ein projektiver Raum aussieht, damit sollte auch die Aufgabe der Abbildungen lösbar sein. Die letzte Aussage ist ein Satz über die Eigenschaften eines projektiven Raums. Genauso wie Gl(n,K) die Gruppe der invertierbaren Abbildungen des n-dimensionalen Vektorraums über K ist, kann man die Gruppe der invertierbaren Abbildungen eines projektiven Raumes bestimmen. Diese Gruppe wird mit PGl(n,K) bezeichnet und es gilt $\begin{eqnarray} PGl_n(K)=Gl_n(K) / K^ \end{eqnarray*}$

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