Doppelverhältnis reel, wenn 4 Punkte auf Gerade oder Kreis

06.06.2006, 22:00

Jonna-Lies

Doppelverhältnis reel, wenn 4 Punkte auf Gerade oder Kreis

Hallo,

ich hab hier eine Aufgabe die ich heute Nacht noch fertig kriegen muss. Sie lautet:

Werden die drei Punkte A;B;M der Ebene dargestellt durch die komplexen Zahlen a; b;m,
so gilt:

arg[ (m-b)/(m-a)]= Winkel(AMB) f folgere hieraus, dass vier Punkte A;B;C;D, dargestellt durch a; b; c; d € C, genau
dann auf einem Kreis oder einer Geraden liegen,
wenn das Doppelverältnis

(d-a)/(d-b) : (c-a)/(c-b) reel ist.

Dass das für einen Kreis gilt könnte ich mithilfe des Satz des Thales zeigen, oder? Ich würde sagen, dass dieses Doppelverhältnis reel, da ich ja den Winkel (ADB) durch den Winkel (ACB) dividiere und da diese beiden Winkel gleich sind, muss 1 rauskommen (--> reel!)

Für die Gerade fällt mir das nicht ganz so leicht. Habe mir überlegt, dass wenn die Punkte A, B, C, D auf einer Geraden liegen zeigen die Vektoren

D-A, D-B, C-A, C-B alle in die gleiche Richtung bzw. genau in die entgegengesetzte. Dacht ich kann dann zeigen dass $\begin{eqnarray*} \vec(AD)=\lambda*\vec(BD)=\alpha*\vec(AC)=... \end{eqnarray*}$ gilt. Und Alpha, Beta, Lambda reel sind.

Andere Idee war: Ich schau mir die Division der komplexen Zahlen an und finde so vielleicht Bedingungen für abcd, dass der imaginärteil des Quotienten null wird und kann dann vielleicht zeigen, dass diese genau eintreffen, wenn sie auf einer Geraden liegen.

Bitte helft mir, ich habs leider bitter nötig,

Jonna

06.06.2006, 23:08

sqrt(2)

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RE: Doppelverhältnis reel, wenn 4 Punkte auf Gerade oder Kreis

Zitat:

Original von Jonna-Lies
Dass das für einen Kreis gilt könnte ich mithilfe des Satz des Thales zeigen, oder?

Das erstens nicht, und zweitens bist du drauf und dran, die Umkehrung dessen zu zeigen, was du eigentlich zeigen sollst. Du sollst aus dem reellen Verhältnis folgern, dass es sich entweder um einen Kreis oder um eine Gerade handelt.

Also, es gilt

$\begin{eqnarray*} \arg\frac{m-b}{m-a}=\angle AMB \end{eqnarray*}$ .

Außerdem gilt

$\begin{eqnarray*} z\in\mathbb{R}~\Lra~\arg z=0~\vee~\arg=\pi \end{eqnarray*}$ .

(Achte darauf, dass hier die Argumente der Zahlen und nicht die Zahlen selbst behandelt werden!)

Da bei der Division die Argumente voneinander abgezogen werden, gilt also

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{d-a}{d-b}}{\frac{c-a}{c-b}}\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} \angle BDA=\angle BCA \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \angle BDA=180^\circ+\angle BCA \end{eqnarray*}$ .

Du solltest dir jetzt einmal den Umfangswinkelsatz ansehen (seine Umkehrung gilt auch).

07.06.2006, 01:11

Jonna-Lies

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Okay, ich glaub ich hab nur den Namen verwechselt.
Mit Umfangswinkelsatz ist doch gesagt, dass Winkel(BDA)=Winkel(BCA) wenn A,B,C,D auf einem Kreis liegen und umgekehrt.

Ich schätze mal dass dann Winkel(BDA)=Winkel(BCA)+180° für den Fall der Geraden eintrifft, aber wie zeige ich dass?

UNd zum schluss noch ne "dümmliche Frage" : was hat es mit dem arg auf sich?

danke

07.06.2006, 01:44

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Jonna-Lies
UNd zum schluss noch ne "dümmliche Frage" : was hat es mit dem arg auf sich?

Die beantworte ich zuerst, denn sonst verstehst du von dem ganzen Vorgehen nichts. Man kann eine komplexe Zahl auch in Polarkoordinaten, also mit Radius und Winkel zur positiven reellen Achse angeben, oder anders ausgedrückt, lässt sich jede komplexe Zahl in der Form

$\begin{eqnarray*} z=r(\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi) \end{eqnarray*}$

darstellen. $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ heißt dann das Argument von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \arg z=\varphi \end{eqnarray*}$ . Durch Nachrechnen lässt sich zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \arg\frac{z_1}{z_2}=\arg z_1-\arg z_2 \end{eqnarray*}$ ;

bei der Division zweier komplexer Zahlen werden die Winkel also voneinander abgezogen.

Zitat:

Original von Jonna-Lies
Okay, ich glaub ich hab nur den Namen verwechselt.
Mit Umfangswinkelsatz ist doch gesagt, dass Winkel(BDA)=Winkel(BCA) wenn A,B,C,D auf einem Kreis liegen und umgekehrt.

Nein, dazu musst du schon die Umkehrung des Umfangswinkelsatzes bemühen und zur schlüssigen Argumentation würde schon gehören, die Sehne des Kreisbogens anzugeben.

Zitat:

Original von Jonna-Lies
Ich schätze mal dass dann Winkel(BDA)=Winkel(BCA)+180° für den Fall der Geraden eintrifft

Nein. Dieser Fall tritt ein, wenn die Punkte auf unterschiedlichen Seiten der Sehne liegen. Es gibt aber einen bestimmte Lage der Punkte, bei der der Umfangswinkelsatz überhaupt nichts nützt, das ist der Fall der Geraden.

07.06.2006, 02:06

Jonna-Lies

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Muss ich die Umkehrung des Umfanggwinkelsatzes auch noch herleiten, oder reicht es zu sagen, "Wenn man die Strecke AB von einem Punkt P aus
unter dem Winkel Õ sieht, dann liegt P auf dem Faßkreisbogen-Paar über AB zum Winkel Õ."

Die Sehne des Kreisbogens angeben? Hab ne Skizze gemacht und die Sehne zwischen den Punkten A und B eingetragen. SO richtig?

07.06.2006, 02:26

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Jonna-Lies
Muss ich die Umkehrung des Umfanggwinkelsatzes auch noch herleiten,

Ich denke, von dieser Umkehrung darfst du ausgehen.

Zitat:

Original von Jonna-Lies
oder reicht es zu sagen, "Wenn man die Strecke AB von einem Punkt P aus
unter dem Winkel Õ sieht, dann liegt P auf dem Faßkreisbogen-Paar über AB zum Winkel Õ."

Eigentlich geht es ja um mehrere Punkte als nur einen, die auf dem gleichen Fasskreisbogen liegen sollen. Ein Punkt alleine bzw. ein Fasskreisbogenpaar bringen dir nicht viel. Meiner Meinung nach kann man die Umkehrung des Umfangswinkelsatzes so formulieren:

Erscheint eine Strecke $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ von Punkten $\begin{eqnarray*} P_n \end{eqnarray*}$ unter dem gleichen Winkel und der gleichen Orientierung, so liegen alle $\begin{eqnarray*} P_n \end{eqnarray*}$ auf einem Kreis mit der Sehne $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Jonna-Lies
Die Sehne des Kreisbogens angeben? Hab ne Skizze gemacht und die Sehne zwischen den Punkten A und B eingetragen. SO richtig?

Ja.

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