wurzel(4) irrational?

07.06.2006, 01:50

ArminTempsarian

wurzel(4) irrational?

Der Titel des Threads lässt es bereits vermuten, es handelt sich um eine ziemlich dämliche Frage:

Es geht um diese Beweise, dass wurzel(2) und wurzel(3) irrational sind.

Das funktioniert doch in etwa so. Angenommen wurzel(2) wäre rational, dann wurzel(2) = p/q mit p und q teilerfremd, also gekürzter Bruch. nach quadrieren beider seiten usw. kommt man dann drauf, dass sie doch nicht teilerfremd waren (p und q). Widerspruch.

Ich frag mich jetzt nur, ob man mit diesem "beweisschema" nicht von jeder zahl beweisen kann, dass die wurzel irrational ist.

Mit wurzel(4) z.B. funktioniert der beweis doch auch (bitte um Korrektur).
Prima vista sieht man einer Zahl doch nicht an, dass ihre Wurzel irrational ist.

Jetzt is es raus. Also kein Spott bitte...

07.06.2006, 02:13

sqrt(2)

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Ich gehe davon aus, dass du folgenden Beweis meinst:

Es sei $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q}=\sqrt{2},~p,q\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ; p, q teilerfremd. Dann gilt

$\begin{eqnarray*} 2&=&\frac{p^2}{q^2}\\2q^2&=&p^2 \end{eqnarray*}$

Damit ist $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ gerade und somit auch $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , also kann man schreiben $\begin{eqnarray*} p=2n,~n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Dann ist aber

$\begin{eqnarray*} 2q^2&=&(2m)^2\\&=&4n^2\\q^2&=&2n^2 \end{eqnarray*}$

Folglich ist auch $\begin{eqnarray*} q^2 \end{eqnarray*}$ gerade und damit $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ . Wenn aber $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ gerade sind, haben sie den gemeinsamen Teiler 2; Widerspruch.

Führst du den gleichen Beweis mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{4} \end{eqnarray*}$ , so kommst du zur Zeile

$\begin{eqnarray*} 4q^2=p^2 \end{eqnarray*}$ .

Du kannst zwar daraus folgern, dass $\begin{eqnarray*} p=2n \end{eqnarray*}$ gerade ist, was dich aber nur zu

$\begin{eqnarray*} q^2=n^2 \end{eqnarray*}$

führt, wo kein Widerspruch ist.

Du kannst aus

$\begin{eqnarray*} 4q^2=p^2 \end{eqnarray*}$ .

eben nicht folgern, dass $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ den Teiler 4 hat, also dass $\begin{eqnarray*} p=4n \end{eqnarray*}$ , wie das Beispiel $\begin{eqnarray*} p=2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} q=1 \end{eqnarray*}$ zeigt. Die Argumentation funktioniert jedoch mit jeder Primzahl. Man kann sogar zeigen, dass die Wurzel einer natürlichen Zahl entweder natürlich oder irrational ist, sodass nur Quadratzahlen rationale Wurzeln haben.

07.06.2006, 02:27

ArminTempsarian

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Ich steh wohl total auf der Leitung

Aber wenn steht:

$\begin{eqnarray*} 4q^2 = p^2 \end{eqnarray*}$

dann folgt doch

4 teilt p^2, also 4 teilt p ?!

07.06.2006, 02:31

sqrt(2)

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Nein, eben nicht. Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} 4\cdot1^2=2^2 \end{eqnarray*}$ ,

aber 4 teilt nicht 2. Oder auch:

$\begin{eqnarray*} 4\cdot9^2=6^2 \end{eqnarray*}$ ,

aber 4 teilt nicht 6.

Damit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ von 4 geteilt wird, braucht es zwei Mal den Primfaktor 2. Damit $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ von 4 geteilt wird, reicht aber schon ein Mal der Primfaktor 2 in $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , denn durch das Quadrieren wird dieser verdoppelt.

07.06.2006, 02:51

ArminTempsarian

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Also ich kann mir nicht helfen...

Aber irgendwie sieht so aus, als wär dein erstes Gegenbeispiel doch genau das, was bewiesen werden soll.
$\begin{eqnarray*} 4*1^2 = 2^2 gdw. 4 = \frac {2^2} {1^2} gdw. \sqrt {4} = \frac {2} {1} \end{eqnarray*}$

und das soll ja (im allgemeinen) gerade gezeigt werden.
(4*9^2 ist nicht 6^2) Augenzwinkern