Unbestimmtes Integral berechnen

07.06.2006, 13:26	InfoStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Unbestimmtes Integral berechnen Hallo, ich sitze jetzt vor folgender Aufgabe, man zeige: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty}~{\frac{x^2}{1+x^4}}~dx = \int_{0}^{\infty}~{\frac{1}{1+x^4}}~dx = \frac{\pi}{4}\sqrt{2} \end{eqnarray}$ Also wie gehe ich ran, beide Integrale "berechnen" und zeigen, dass wenn die Obergrenze gegen + $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ geht, sie den Wert ... annehmen. Also erstmal die Obergrenze Variabel lassen und eine Stammfkt. für beide Terme suchen... So und dann kommt dann auch auch die Schwierigkeit der Aufgabe. Für den zweiten Term denke ich eine gute Substitution gefunden zu haben, aber beim ersten Term finde ich überhaupt nichts passendes und partielle Integration oder Partialbruchzerlegung hilft hier auch nicht weiter. mfg Infostudent
07.06.2006, 14:36	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du brauchst nur eines der beiden Integrale lösen. Denn mit der Substitution $\begin{eqnarray} x = 1/t \end{eqnarray}$ gehen sie ineinander über.
08.06.2006, 13:18	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unbestimmtes Integral berechnen Der Nenner muss über $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ in Polynome des Grades 2 zerfallen. Ansatz also: $\begin{eqnarray} 1+x^4 = (x^2 + ax + b) \cdot (x^2 + cx +d) \end{eqnarray}$ Dann PBZ. Grüße Abakus
09.06.2006, 12:04	InfoStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja Abakus, den Ansatz habe ich auch gewällt. Nochmal danke an Leopold.
09.06.2006, 18:41	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Übrigens gilt für beliebiges reelles $\begin{eqnarray} \alpha > 1 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \int_0^{\infty}~\frac{\mathrm{d}x}{1+x^{\alpha}} = \frac{\frac{\pi}{\alpha}}{\sin{\frac{\pi}{\alpha}}} \end{eqnarray}$

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