Gleichung mit sin und cos lösen

07.09.2008, 16:08

neo200

Gleichung mit sin und cos lösen

Hallo,

ich muss folgende Gleichung lösen:

$\begin{eqnarray*} 2sinx + 1-\sqrt{3}sinx-cosx=0 \end{eqnarray*}$

Aber ich weiß nicht so recht wie ich da jetzt ran gehe.

Ich habe im ersten Schritt erstmal sinx ausgeklammert, also:

$\begin{eqnarray*} sinx(2-\sqrt{3})+1-cosx=0 \end{eqnarray*}$

Muss ich jetzt einmal den sin Teil =-1 setzten und dann den cos Teil, oder wie ist da jetzt der Ansatz?

Wenn mir jemand helfen könnte wäre das super!

08.09.2008, 11:28

neo200

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Hat keiner ne Ahnung?

08.09.2008, 11:33

klarsoweit

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Eine Idee wäre, den cos(x) auf die rechte Seite zu bringen, dann die Gleichung zu quadrieren und dann den trigometrischen Pythagoras anzuwenden.

08.09.2008, 11:46

neo200

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Also ich habe jetzt rausbekommen, dass das Gleichungssystem für x=0° und x=330° gelöst ist. Aber das habe ich eher durch logisches einsetzen von Werten rausbekommen. Gibt es da kein Rechenschema für?

08.09.2008, 11:53

Jacques

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Zitat:

Original von neo200
Also ich habe jetzt rausbekommen, dass das Gleichungssystem ...

Welches Gleichungssystem? Du meinst Gleichung. Augenzwinkern

Zitat:

Original von neo200
... für x=0° und x=330° gelöst ist. Aber das habe ich eher durch logisches einsetzen von Werten rausbekommen. Gibt es da kein Rechenschema für?

klarsoweit hat doch gerade einen Lösungsweg vorgeschlagen. verwirrt

08.09.2008, 11:56

riwe

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der tip von Klarsoweit führt eh auf:

$\begin{eqnarray*} sinx(2sinx +1)=0 \end{eqnarray*}$

und das enthält deine lösungen

08.09.2008, 12:44

neo200

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Also, um das jetzt mal genau nachvollziehen zu können schreibe ich das mal komplett auf:

$\begin{eqnarray*} (2-\sqrt{3})sinx+1=cosx \end{eqnarray*}$

quadrieren liefert:

$\begin{eqnarray*} cos²x=(2-\sqrt{3})²sin²x+2(2-\sqrt{3})sinx+1 \end{eqnarray*}$

Laut trigonometrischem Pythagoras gilt:

$\begin{eqnarray*} cos²x=1-sin²x \end{eqnarray*}$ und es folgt:

$\begin{eqnarray*} 1-sin²x=(2-\sqrt{3})²sin²x+2(2-\sqrt{3})sinx+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=(2-\sqrt{3})²sin²x+2(2-\sqrt{3})sinx+sin²x \end{eqnarray*}$ , jetzt mit sinx dividieren:

$\begin{eqnarray*} 0=(2-\sqrt{3})²sinx+2(2-\sqrt{3})+sinx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2(2-\sqrt{3})=[(2-\sqrt{3})²+1]sinx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{2(2-\sqrt{3})}{[(2-\sqrt{3})²+1]}=sinx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=arcsin-\frac{2(2-\sqrt{3})}{[(2-\sqrt{3})²+1]} \end{eqnarray*}$

So, aber da kommt dann ja nur das Ergebnis für x=330° raus..., aber was ist mit der Lösung für x=0° ?

Und kann man den Bruch in der letzten Zeile noch ein wenig verschönern?

08.09.2008, 12:59

neo200

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Ah, wahrscheinlich gibt es für sin²x zwei Lösungen und deshalb darf ich nicht einfach durch sinx dividieren. Dann bekomme ich auch :

$\begin{eqnarray*} sinx(2sinx+1)=0 \end{eqnarray*}$ raus!

Dann habe ich einmal sinx=0 und einmal 2sinx+1=0

Super! Danke!

Freude

08.09.2008, 13:00

Thomas L.

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Die Lösung x = 0 fehlt, da du durch sin(x) geteilt hast.

08.09.2008, 13:06

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Alternativ kann man erstmal den Term

$\begin{eqnarray*} (2-\sqrt{3})\sin(x)-\cos(x) \end{eqnarray*}$

zu einem einzigen (allerdings phasenverschobenen) Sinusterm umwandeln, so wie hier beschrieben:

nach f(x) = a*sin(x + b)

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