Hauptteil einer Laurentreihe

07.09.2008, 16:45

Berny

Hauptteil einer Laurentreihe

Hallo.
Den Hauptteil $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ und Nebenteil einer Laurentreihe hatten wir in der Vorlesung definiert als

$\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_{K(R,a)} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}d\zeta - \frac{1}{2\pi i} \int_{K(r,a)} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}d\zeta \end{eqnarray*}$

Wobei nun

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\pi i} \int_{K(r,a)} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}d\zeta := f_1 \end{eqnarray*}$

Jetzt heißt es allerdings, dass $\begin{eqnarray*} f_1(z) \to 0 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} |z| \to \infty \end{eqnarray*}$

Ich hätte naiv vermutet, das liegt daran, dass der Nenner dann sehr groß wird und deswegen das Integral gegen Null geht, aber dann müsste der Nebenteil

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\pi i} \int_{K(R,a)} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}d\zeta \end{eqnarray*}$

ebenfalls gegen Null gehen, was wohl nicht der Fall ist.

Kann mir jemand sagen, warum der Hauptteil gegen Null geht für |z| gegen Unendlich?

VG,
Berny

16.09.2008, 18:07

Berny

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Mir ist aufgefallen, dass ich einen wichtigen Teil vergessen hatte, es ist

$\begin{eqnarray*} f_1 = \sum^{-1}_{n=-\infty}a_n(z-z_0)^n \end{eqnarray*}$

Jetzt soll sein
$\begin{eqnarray*} lim_{|z| \to \infty} \ f_1 = lim_{|z| \to \infty} \ \sum^{-1}_{n=-\infty}a_n(z-z_0)^n = 0 \end{eqnarray*}$

Leider ist mir nicht klar, wieso.
Kann mit dieser Information vielleicht doch jemand helfen?

Berny

16.09.2008, 20:03

system-agent

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Ich glaube du solltest eine Antwort hier finden, Seite 102 [bzw Seite 7 im pdf-File].

16.09.2008, 20:24

WebFritzi

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RE: Hauptteil einer Laurentreihe

Zitat:

Original von Berny
Ich hätte naiv vermutet, das liegt daran, dass der Nenner dann sehr groß wird und deswegen das Integral gegen Null geht

So sieht es aus.

Zitat:

Original von Berny
, aber dann müsste der Nebenteil

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\pi i} \int_{K(R,a)} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}d\zeta \end{eqnarray*}$

ebenfalls gegen Null gehen

Nein, denn der Nebenteil ist nur auf dem Kreis mit Radius R definiert. Das stimmt nur, wenn R Unendlich ist.

17.09.2008, 18:49

Berny

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Ok, jetzt hab ichs kapiert. Danke euch

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Hauptteil einer Laurentreihe

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