Lipschitzbedingung

08.06.2006, 14:16

tigerteufel

Lipschitzbedingung

Hi Leute,

habe ein problem mit der folgenden Aufgabe:

f: R^2 -> R f(x,y)=sqrt(|y|)

zu zeigen ist: f genügt in M:={(x,y) in R^2 : x in R und |y|>=r} einer Lipschitzbedingung bezüglich y.

Die Formel dafür ist ja

| f(x,y_1) - f(x,y_2) | <= L |y_1 - y_2 |

mit einsetzen komme ich auf

| sqrt(|y_1|) - sqrt(|y_2|) | <= L |y_1 - y_2|

da komme ich jetzt aber nicht weiter, kann mir da bitte jemand helfen?

08.06.2006, 14:38

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Nach Dreiecksungleichung gilt $\begin{eqnarray*} |y_1-y_2| \geq | |y_1|-|y_2| | \end{eqnarray*}$ . Und wenn du $\begin{eqnarray*} a=\sqrt{|y_1|} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=\sqrt{|y_2|} \end{eqnarray*}$ in die binomische Formel $\begin{eqnarray*} a^2-b^2=(a-b)(a+b) \end{eqnarray*}$ einsetzt, erhältst du insgesamt

$\begin{eqnarray*} |y_1-y_2| \geq | |y_1|-|y_2| | = \left| \sqrt{|y_1|} - \sqrt{|y_2|} \right| \cdot \left( \sqrt{|y_1|} + \sqrt{|y_2|} \right) \end{eqnarray*}$

Und wenn du jetzt noch deinen Bereich $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ anschaust, kannst du auch noch den Faktor $\begin{eqnarray*} \left( \sqrt{|y_1|} + \sqrt{|y_2|} \right) \end{eqnarray*}$ geeignet nach unten durch eine positive reelle Zahl abschätzen und bist fertig.

08.06.2006, 17:16

tigerteufel

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1/(sqrt(|y_1|)-sqrt(|y_2|)) <=L und jetzt kann ich ja |y|>= r einsetzen also |y|=r

und komme dann auf 1/(2sqrt(r))<=L

abert was heisst das jetzt?

08.06.2006, 19:20

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Zitat:

Original von tigerteufel
1/(sqrt(|y_1|)-sqrt(|y_2|)) <=L

Versteh ich nicht. unglücklich

09.06.2006, 08:56

tigerteufel

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Ich erweitere mit sqrt(|y_1|) + sqrt(|y_2|)

und komme dann auf 1/ (sqrt(|y_1|) + sqrt(|y_2|)) <= L

es musste ein plus sein kein minus

und wenn ich jetzt r einsetze komme ich auf 1/(2*sqrt(r))<=L

aber was sagt mir das jetzt?

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