Punkt für Trapez berechnen

08.06.2006, 16:52

fiona

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Punkt für Trapez berechnen

Hallo.

Wink

Erstmal hoffe ich, hier richtig zu sein.
Also, ich habe eine Aufgabe bekommen, und zwar sind die Koordinaten von 3 Punkten (A, B und D) gegeben, und ich soll nun rechnerisch die Koordinaten eines Punktes C bestimmen, sodass sich ein gleischenkliges Trapez ergibt, für das gilt: Strecke AB parallel zur Strecke CD.

08.06.2006, 17:03

riwe

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RE: Punkt für Trapez berechnen
eine möglichkeit:
gerade g durch AD geschnittem mit der mittelsenkrechten m von AB, schnittpunkt sei S, gerade h durch SB, geschnitten mit der zu AB parallelen geraden h durch D => gesuchter punkt C.
werner

08.06.2006, 17:08

fiona

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Wie ich das sehe, eine Möglichkeit, das zu konstruieren. Ich soll die Koordinaten allerdings rechnerisch mit einer Gleichung o. ä. bestimmen, das ist ja das Problem.

08.06.2006, 17:09

Thyra

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Das ist rechnerisch, wenn du Analytische Geometrie verwendest.

08.06.2006, 17:18

fiona

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8. Klasse hier! Ich weiß jedenfalls nicht mal, was analytische Geometrie ist. Könnt ihr mir vielleicht trotzdem erklären, wie ich die genauen Koordinaten des Punktes herausbekomme?

08.06.2006, 17:29

Thyra

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Hm, ehrlich gesagt weiß ich nicht, wie man das ohne Analytische G. berechnen soll. Aber da du noch nie davon gehört hast, muss es auch anders gehen.

Wie lauten den die Koordinaten der Punkte?

Und mit welchem Themengebiet beschäftigt ihr euch derzeit in Mathe?

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08.06.2006, 17:38

fiona

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Wir beschäftigen uns mit Flächeninhalten und Rauminhalten.

Die Koordinaten sind A(1/1), B(5/2) und D(1/4).

Kleine Skizze

http://img242.imageshack.us/img242/9199/trapezskizze2kx.th.gif

08.06.2006, 17:52

Thyra

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Sorry, aber ich steh echt vor nem Rätsel. unglücklich

unglücklich

(Ich könnte dir zwar zeigen wie man es mit analytischer rechnet, aber da du nichts von Vektoren und so weißt, hat das keinen Sinn.)

08.06.2006, 18:39

fiona

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Als ich die Aufgabe das erste Mal sah, dachte ich spontan, dass man es vielleicht mit Gradengleichungen (Steigungen) lösen könnte. Hätte auch gepasst, da wir das Thema gerade vorher behandelt hatten und unser Lehrer in eigenen Aufgaben gerne mal vorher behandelte Themen miteinbringt. Aber wie ich sehe, lag ich da wohl falsch, oder?

08.06.2006, 18:48

riwe

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kennst du diese flächenformel für das dreieck (aus den koordinaten):
$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}(x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)) \end{eqnarray*}$ und den pythagoras?
dann geht es (sehr elendiglich).
werner
sehe gerade deinen letzen post: also geradengleichungen kennst du doch? Big Laugh

Big Laugh

?

08.06.2006, 18:53

fiona

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Wir haben Steigungen durchgenommen.

08.06.2006, 19:07

riwe

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und was gibt es zu frage 1 zu berichten?
werner

08.06.2006, 20:24

fiona

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Mit dieser Formel kann ich dann die Koordinaten herausfinden, wenn ich einsetze?

Pythagoras hatten wir noch nicht unglücklich

unglücklich

08.06.2006, 20:31

fiona

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Ich bin's nochmal.

@ Thyra oder jemand anderen
Schreib es, wenn du möchtest, ruhig einmal "analytisch" auf, vielleicht kann ich ja was damit anfangen.

08.06.2006, 22:52

Thyra

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Hm, ich hätte noch ne andere Möglichkeit gefunden, weiß aber nicht ob ihr das alles schon gelertn habt. Na egal:

Du kannst eine gerade aufstellen, die durch D verläuft und die gleiche Steigung wie die Strecke AB hat:

g: y = $\begin{eqnarray*} \frac{x}{4} \end{eqnarray*}$ + 3.75

Der Punkt C ist Element von G, daher hat C die Koordinaten: (x / $\begin{eqnarray*} \frac{x}{4} \end{eqnarray*}$ + 3.75)

Da es sich um ein gleichschenkeliges Trapez handelt müssen beide Diagonalen gleich lang sein.

AC = BD => $\begin{eqnarray*} \mid c-a \mid \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \mid d-b \mid \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} \sqrt{(x-1)^{2} + (\frac{x}{4} - \frac{15}{4} - 1)^{2}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sqrt{(1-5)^{2} + (4-2)^{2}} \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2} - 2*x + 1 +\frac{x^{2}}{16} - 2*\frac{x}{4}*\frac{19}{4} + \frac{19^{2}}{16}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sqrt{20} \end{eqnarray*}$ ;jetzt quadrierst du die ganze Gleichung

=> $\begin{eqnarray*} x^{2} - 2*x + 1 + \frac{x^{2}}{16} - \frac{19*x}{8} + \frac{19^{2}}{16} \end{eqnarray*}$ = 20

=> $\begin{eqnarray*} \frac{17*x^{2}}{16} - \frac{35*x}{8} + \frac{361}{16} \end{eqnarray*}$ = 20 ;das ganze mal 16

=> 17* $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ - 70*x + 361 = 320

=> 17* $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ - 70*x + 41 = 0

Jetzt in die große Lösungsformel einsetzen (irgendwie habe ich die Befürchtung, dass du sie noch nicht kennst):

x12 = $\begin{eqnarray*} \frac{70 \pm \sqrt{70^{2} - 4*17*41}}{2*17} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{70 \pm 8*\sqrt{33}}{34} \end{eqnarray*}$

=> x1 = 3.4
x2 = 0.7

Wenn du mit der Skizze vergleichst, siehst du, dass du in deinem Fall x1 brauchst.

Jetz nur noch x1 in g einsetzen und du erhälst y.

=> C(3.4/4.6)

Zugegeben, ist irgendwie kompliziert.

edit: Ah, hab mich verdrückt. Ist noch nicht fertig.

edit: So, nach zahlreichen Korrektueren, damit das Ganze gut aussieht, bin ich endlich fertig. (Ich stell hier noch nen Rekord im Editieren auf! Big Laugh

Big Laugh

)

08.06.2006, 23:14

riwe

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Big Laugh

Zitat:

Original von Thyra
Hm, ich hätte noch ne andere Möglichkeit gefunden, weiß aber nicht ob ihr das alles schon gelertn habt. Na egal:

Du kannst eine gerade aufstellen, die durch D verläuft und die gleiche Steigung wie die Strecke AB hat:

g: y= $\begin{eqnarray*} \frac{x}{4} \end{eqnarray*}$ +3.75

Der Punkt C ist Element von G, daher hat C die Koordinaten: (x/ $\begin{eqnarray*} \frac{x}{4} \end{eqnarray*}$ +3.75)

Da es sich um ein gleichschenkeliges Trapez handelt müssen beide Diagonalen gleich lang sein.

AC=BD => $\begin{eqnarray*} \in \mid c-a \mid \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \in \mid d-b \mid \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

edit: Ah, hab mich verdrückt. Ist noch nicht fertig.

hast du dich verdruckt oder verdrückt? Teufel

Teufel

da du geraden verwendest, ist das recihlich kompliziert(er).
werner

und damit das ganze sinn macht:
mit der formel von oben- ihr macht ja gerade flächen ... -:
dreieck ABD
2A = 1(2 - 4)+5(4 - 1)+1(1 - 2)
A = 6
$\begin{eqnarray*} \mid AB\mid =\sqrt{17}\rightarrow h_a=\frac{12}{\sqrt{17}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mid AD\mid =3 \end{eqnarray*}$
rechtwinkeliges dreieck AED:
$\begin{eqnarray*} h^{2}=pq \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h_a^{2}=\mid AD\mid\cdot q \end{eqnarray*}$
das ergibt
$\begin{eqnarray*} q=\frac{84}{17} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} p=\frac{3}{17} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} h=\frac{12}{17} \end{eqnarray*}$
und damit ohne geraden usw. , usw....aus den ähnlichen dreiecken
$\begin{eqnarray*} C(5-2\cdot\frac{12}{17}/2+3-\frac{6}{17}) \end{eqnarray*}$

C(3.5882/ 4.6471)

einfacher geht es doch nimmer! Big Laugh

Big Laugh

werner

08.06.2006, 23:39

Thyra

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Beides.

Big Laugh

Ich weiß, ist irgendwie verwirrend, aber ich dachte, dass sie mit dem eher was anfangen kann als mit Analytischer.

edit: Respekt, ich kannte "deine" Formel auch nicht. - Man tut halt was man kann.

08.06.2006, 23:52

riwe

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Zitat:

Original von Thyra
Beides. Big Laugh

Big Laugh

Ich weiß, ist irgendwie verwirrend, aber ich dachte, dass sie mit dem eher was anfangen kann als mit Analytischer.

meines wissens sind geraden teil der analytischen geometrie verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

werner

09.06.2006, 00:03

Thyra

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Nicht unbedingt. Die Gleichun y = k*x + d ist ja (ich sag jetzt mal unter anderem auch) ne Funktion? - Aber du kannst mich gerne korrigieren, wenn ich hier irgendwelchen Blödsinn verzapfe.

Zugegeben, kann man aber, glaube ich sagen, dass die Art wie ich die Längen der Strecken ausgerrechnet habe analytisch ist??? - Praktisch verstehe ich die Mathematik eigentlich ziemlich gut (oder zumindest einige Bereiche davon), aber wenn es um den "theoretischen" Teil geht (Begriffe,für was das jetzt die Bezeichnung ist, was in welchen Bereich gehört,..) hab ich schon mal nen Aussetzer.

09.06.2006, 00:20

riwe

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Zitat:

Original von Thyra
- Praktisch verstehe ich die Mathematik eigentlich ziemlich gut (oder zumindest einige Bereiche davon), aber wenn es um den "theoretischen" Teil geht (Begriffe,für was das jetzt die Bezeichnung ist, was in welchen Bereich gehört,..) hab ich schon mal nen Aussetzer.

da hast du mir schon einiges voraus,
ich halte es da mehr mit sokrates - ist kein fußballspieler Big Laugh

Big Laugh

aber ich denke, du hast vollkommen recht, ist doch egal, wie es heißt.
und zur aufgabe; warum einfach mit geraden, wenn es so schön kompliziert geht, s.o!
werner

09.06.2006, 13:52

fiona

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Hui, da hat sich hier ja noch ganz schön was getan. Danke für eure Mühe (auch wenn ich einiges leider noch nicht nachvollziehen kann).
Hier jetzt einmal die Lösung unseres Lehrers:

http://img93.imageshack.us/img93/3672/trapezgeo1sr.th.gif

Dann haben wir es nicht weiter ausgeführt. böse

böse

09.06.2006, 15:21

riwe

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und was vermutest du, was diese gleichungen repräsentieren?
werner

und es würde mich interessieren, wie ihr auf die geradengleichung nr. 2 kommt, die ohnehin FALSCH ist!

09.06.2006, 17:55

fiona

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Unser Lehrer hat die 2. Gleichung von einem Schüler übernommen, ohne sie weiter zu überprüfen, er hat diese Aufgabe dann, wie gesagt, abgeschlossen.

Die Gleichung 1 ist natürlich eine Gerade parallel zur Gerade durch A und B, die durch D geht.
Problem bei der Aufgabe ist eben, dass ich mit meinem Wissen wohl keine Möglichkeit habe, die Gleichung für die Gerade zu bestimmen, die durch B und D geht. Schade, auch wenn ich es nicht brauche, würde mich doch eine für mich nachvollziehbare, genaue Lösung interessieren.

09.06.2006, 17:56

fiona

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Sorry für den Doppelpost, die Gerade muss natürlich durch B und C gehen, nicht durch B und D.

09.06.2006, 20:22

riwe

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na gut:
die steigung der geraden durch AB beträgt $\begin{eqnarray*} m_1=\frac{1}{4}\rightarrow\alpha= 14.0362° \end{eqnarray*}$ , daher beträgt der winkel im trapez bei A $\begin{eqnarray*} 90-\alpha \end{eqnarray*}$ , der winkel bei B muß genauso groß sein, daher hat die gesuchte gerade g2 durch BC die steigung $\begin{eqnarray*} m_2=tan(90+2\alpha)=-1.8752 \end{eqnarray*}$ , wie man leicht sehen kann, siehe bild.
mit einigen trigonometrischen umformungen des tangens, kann man
$\begin{eqnarray*} m_2=-\frac{15}{8}=-1.8752 \end{eqnarray*}$ auch direkt berechnen.
damit hast du
$\begin{eqnarray*} g_2:y-2=-\frac{15}{8}(x-5)\rightarrow y=-\frac{15}{8}+\frac{91}{8} \end{eqnarray*}$
g1 = g2 liefert die x-koordinate des punktes C mit $\begin{eqnarray*} x_c=\frac{61}{17}=3.5882 \end{eqnarray*}$ , daraus kannst du jetzt die y-koordinate selbst berechnen.
nun noch der SINNVOLLE weg aus meinem 1. post:
der mittelpunkt der strecke AB hat die koordinaten $\begin{eqnarray*} S=\frac{1}{2}(A+B)\rightarrow S(3/\frac{3}{2}) \end{eqnarray*}$ und da die mittelsenkrechte eben senkrecht auf AB steht, gilt $\begin{eqnarray*} m_1\cdot m_2=-1\rightarrow m_2= -4 \end{eqnarray*}$ und daher heißt die gerade $\begin{eqnarray*} y-\frac{3}2{2}=-4(x-3) \end{eqnarray*}$ . und wir wissen die x-koordinate lautet x = 1, damit hast du $\begin{eqnarray*} S(1/\frac{19}{2}) \end{eqnarray*}$ .
nun die gerade durch BS:
$\begin{eqnarray*} g_2: y-2=\frac{\frac{19}{2}{2}-2}{1-5}(x-5)\rightarrow y-2=-\frac{15}{8}(x-5) \end{eqnarray*}$ .
und die wird dir ja schon bekannt vorkommen Big Laugh

Big Laugh

wenn du noch fragen hast, frage!
und dein lehrer ist ein weichei! Teufel

Teufel

werner

09.06.2006, 20:57

fiona

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Er sagt, er wolle das Thema nicht zu sehr vertiefen (sowas macht er laufend und ich hasse es :boese smile

smile

09.06.2006, 21:20

riwe

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da gebe ich dir vollommen recht, lieber ein thema vertiefen als lauter wischiwaschi! und noch dazu falsches verzapfen verwirrt

verwirrt

mit dem davor kommst du klar?
werner

09.06.2006, 23:08

fiona

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Ja, einigermaßen. Aber vorerst soll mir das reichen, mir fällen wohl noch zuviele Sachen. Trotzdem vielen Dank für deine Mühe Freude

Freude

09.06.2006, 23:08

fiona

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fehlen, nicht fällen Hammer

Hammer

11.06.2006, 22:48

fiona

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Haha, ich bin doch nicht ganz blöd. Big Laugh

Big Laugh

Habe einfach alle Steigungen einzeln berechnet, außerdem die ganzen Schnittpunkte.
Außerdem alles schön optisch aufbereitet:

http://img362.imageshack.us/img362/2760/trapez017tq.th.gif

11.06.2006, 23:44

Voessli

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Hi

du kannst den Schnittpunkt von 2 Geraden errechnen
Die eine mit der Steigung 1/4 durch den Punkt (1|4)
die andere mit der Steigung -1/2 durch den Punkt (5|2)

12.06.2006, 15:16

fiona

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Ja, habe es ja jetzt hinbekommen. Freude

Freude

12.06.2006, 15:18

riwe

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ja gut gemacht.
und die geradew mit steigung -1/2 bringt sowieso nix.
werner

12.06.2006, 16:03

fiona

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Naja, dann wäre es doch aber unvollständig gewesen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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