Körpertheorie

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violetter Halbritter Auf diesen Beitrag antworten »
Körpertheorie
Frage:

Kann mir jemand den Beweis geben, dass ein Körperhomomorphismus immer surjektiv ist bzw dass ein Körper keine echten Unterkörper haben kann?

Würde mich freuen
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Die Anwort auf deine Frage lautet ganz klar: NEIN!
Aber sicher wird sich wer finden, der dir bei deiner Aufgabe hilft. Also schlage ich vor, du fängst einfach mal an und sagst uns, wo du nicht weiter kommst. Augenzwinkern
violetter Halbritter Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich vermute, dass sich durch jeden Unterring eines Rings ein a finden lässt, dass bezüglich der Addition selbstinvers ist, wenn man dann noch beweist, dass ein Körper keine bezüglich der Addition selbstinversen Elemente haben kann wäre der Beweis schon fertig.

-> wenn ein Körper einen Unterkörper hätte müsste er auch ein bezüglich der Addition selbstinverses Element haben:

Ich denke da brauch ich wohl der Satz des Lagrange, aber ich weiß nicht wie ich ihn einsetzen soll

-> ein Körper kann kein selbstinverses Element haben

Jagut, der bool'sche Ring ist ja auch ein Körper aber ich glaube in allen anderen trifft das zu

diese Aussage ist äquivalent mit der: , man bräuchte also nur einen Widerspruch zu finden
flixgott Auf diesen Beitrag antworten »

ist es nicht so, dass wenn in einem körper n*1 = 0 gilt, dass der körper dann genau n elemente hat (nämlich 0...n-1)?!
in dem fall müßtest du ja nur noch prüfen, dass ({0,1},+,*) keine echten unterkörper mehr hat, was gilt, wenn man in der körpertheorie 0=1 ausschließt. wenn man das nicht ausschließt, dann währe auch {0} ein echter unterkörper aller körper..
aber wie gesagt, dass is ohne gewähr, weil mir nur jetzt schnell eingefallen.
violetter Halbritter Auf diesen Beitrag antworten »

OK! Danke!

Aber wie sieht das mit unendlichen Körpern aus?
Annika555 Auf diesen Beitrag antworten »

Da habe ich zwei Ideen, die dir vielleicht weiterhelfen könnten:

# Wenn 1+1=0 in einem Körper wäre, dann wäre ja (an beide Seiten mit a multipliziert) a+a=0, so wäre jedes Element des Körpers selbstinvers ich könnte mir denken da findet man leicht einen Widerspruch

# Ein nicht triviales Ideal kann ein Körper auf jeden Fall schon einmal nicht haben, weil sonst alle Idealelemente außer 0 kein multiplikatives Inverse hätten

keine Ahnung ob das hilft
 
 
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Kann mir jemand den Beweis geben, dass ein Körperhomomorphismus immer surjektiv ist bzw dass ein Körper keine echten Unterkörper haben kann?

das ist einfach beides völliger Schmus


Betrachte die Einbettung von IR in IC
IR ist ein echter Unterkörper von IC, und die Einbettung ist ganz bestimmt NICHT surjektiv.





edit:
Zitat:
ist es nicht so, dass wenn in einem körper n*1 = 0 gilt, dass der körper dann genau n elemente hat (nämlich 0...n-1)?!

nein, allerdings ist der IFn, als kleinster Körper, in dem das gilt, dann in diesem Körper enthalten. n ist dabei prim.
violetter Halbritter Auf diesen Beitrag antworten »

OK, wie blöd von mir

komisch ich meine doch mal gehört zu haben, das das so ist. Klar, IQ ist sogar auch noch Unterkörper von IR
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Was korrekt ist: jeder Körperhomomorphismus ist injektiv.
Das ist dann als Beweis nicht schwer und du findest das ganze sogar im Forum (wenn du dich nicht selbst versuchen willst, dann such nach mal gestarteten Themen von mir).



Btw: "Q ist sogar auch....", das klingt, als sei das verwunderlich.
Zwischen Q und IR liegen unendlich viele Körper.
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