Vektoren als zylinderkoordinaten darstellen

08.06.2006, 18:21	Bilbo^^	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoren als zylinderkoordinaten darstellen Hallöle, einen wunderschönen Tag wünsche ich euch allen.Nur leider habe ich den nicht so wirklich, da ich mich mit der folgenden aufgabe rumquälen muss: Die Transformationvon Zylinderkoordinaten im $\begin{eqnarray} \mathbb R ^3 \end{eqnarray}$ auf kartesische Koordinaten wird beschrieben durch $\begin{eqnarray} \Phi: [0,\infty ) \times [0,2\pi) \times \mathbb R \to \mathbb R ^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Phi (r, \phi , z) := \begin{pmatrix}r cos \phi \\ r sin \phi\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ so, und es sollen nun die folgenden Vektoren als Zylinderkoordinaten dargestellt werden: a) $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ich glaube, dass sieht ganz einfach aus. aber ich habe oft riesige probleme den ansatz oder die idee für den lösungsweg hinzubekommen. erst dachte ich ich setze die Punkte von zb a) (1,0,0) einfach für $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ein. aber ich glaube so einfach ist es dann doch nicht. könntet ihr mir hier helfen, wie man hier beginnt?
08.06.2006, 19:22	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren als zylinderkoordinaten darstellen Du könntest es in den drei Fällen elementargeometrisch bestimmen (eignet sich gut zur bildlichen Vorstellung und zur Probe). Ansonsten musst du deine Abbildung umkehren: $\begin{eqnarray} \Phi (r, \phi , z) := \begin{pmatrix}r \cos \phi \\ r \sin \phi\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bestimme nun eine Abbildung mit folgender Eigenschaft: $\begin{eqnarray} \Psi (x_1, x_2, x_3) := \begin{pmatrix}? \\ ? \\ ?\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r \\ \phi \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Beziehung für die dritte Komponente steht schon da. Für den Radius denke an Pythagoras (betrachte die Quadratsumme der ersten und zweiten Komponente) und für den Winkel teile erste durch zweite Komponente und verwende eine geeignete Umkehrfunktion. Grüße Abakus

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