Letzte 2 Ziffern von 7^(7^7) bestimmen

08.06.2006, 18:41	Micki_Krause	Auf diesen Beitrag antworten »
Letzte 2 Ziffern von 7^(7^7) bestimmen Hi, schönes Forum habt ihr hier, nun auch gleich meine erste Frage an der 3 andere Kommilitonen auch gerade verzweifeln. Wir sollen die letzten beiden Ziffern von $\begin{eqnarray} 7^(7^7) \end{eqnarray}$ bestimmen. Wir haben auch eine Musterlösung zu der Aufgabe die so vorgeht: Wir betrachten zunächst den Exponenten, also 7^7 mod (100). Da wir ja nur die letzten beiden Stellen uns anschauen wollen. $\begin{eqnarray} 7^7=7^37^4 \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} 7^4=1 \end{eqnarray}$ mod 100 ist. Daraus ergibt sich der neue Exponent $\begin{eqnarray} 7^3 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} 7^3=343 \end{eqnarray}$ . Nun kommt der Teil, den wir nicht mehr verstehen, warum betrachtet man nun den neuen Exponenten mod 4 so dass $\begin{eqnarray} 7^3=3(4) \end{eqnarray*}$ ist? Meine Idee dazu ist, dass ich egal welche Potenz von 7 ich auch betrachten mod 100, ich erhalte nur 4 verschiedene letzte Stellen 01, 49, 43 und 07. Dann ergibt sich das Ergebnis als 43 für die letzten beiden Stellen. Das "=" ist oben bei den Kongruenzen durch ein Kongruenzzeichen zu ersetzten, habs aber nicht gefunden. Gruß Micki
08.06.2006, 18:47	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus $\begin{eqnarray} 7^4 \equiv 1\mod 100 \end{eqnarray}$ folgt unmittelbar die Implikation $\begin{eqnarray} a\equiv b\mod 4 \quad\Longrightarrow\quad 7^a \equiv 7^b \mod 100\qquad () \end{eqnarray}$ . Da du ja nun letztendlich an $\begin{eqnarray} 7^{7^7} \mod 100 \end{eqnarray}$ interessiert bist, und $\begin{eqnarray} 7^7\equiv (-1)^7\equiv 3\mod 4 \end{eqnarray}$ gilt, wählst du $\begin{eqnarray} a=7^7 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b=3 \end{eqnarray}$ für Beziehung ().
08.06.2006, 21:52	Micki_Krause	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, hab dank für die schnelle und kompetente Antwort, aber mir ist die Implikation noch nicht ganz klar bzw. weiß ich nicht wie du drauf kommst. Welcher Satz liegt ihr zugrunde? Gruß Micki
08.06.2006, 22:26	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Tja, eigentlich nur $\begin{eqnarray} 7^4\equiv 1\mod 100 \end{eqnarray}$ und die Potenzgesetze.
08.06.2006, 23:30	robbin	Auf diesen Beitrag antworten »
sicher,dass die letzen beiden stellen nicht 49 lauten? denn wie der threadsteller schon erkannt hat,lauten die endziffern entweder 01,07,49,43 . und diese endziffern wiederholen sich periodisch. 7^7^7=7^823543 und 823543 kann man auch als 4*205885+3 schreiben,von daherwäre doch 49 die endziffern.
08.06.2006, 23:39	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, gerade deswegen sind die Endziffern 43. Dein Irrtum liegt vermutlich dran, dass du 1,2,3,4 zählst - zähle lieber 0,1,2,3 ...
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08.06.2006, 23:44	Micki_Krause	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte bei meiner Lösung einfach die Periode ausgenutzt. Gab aber nicht die vollen Punkte.
08.06.2006, 23:47	robbin	Auf diesen Beitrag antworten »
sry.ok

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