hyperbolische Ebene |
| 08.06.2006, 19:49 | Annika555 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| hyperbolische Ebene |
||||
| 08.06.2006, 19:55 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bisher dachte ich ja immer, dass eine Ebene auch eben ist, also keine Krümmung besitzt .... 
Erklär doch mal den Kontext des eigentlichen Problems, vielleicht wird es dann klarer. 
|
||||
| 08.06.2006, 20:09 | Annika555 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
|
Also die euklidische Ebene gleicht zum Beispiel einem Blatt Papier, nur halt in das unendliche Verlängert. Ich habe gehört, dass es auch andere Ebenen geben kann, zum Beispiel die, die positiv gekrümmt ist diese gleicht einer Oberfläche einer Kugel. Da soll es aber auch noch eine dritte möglichkeit geben, nämlich die Ebene negativ zu krümmen, leider weiß ich nicht wie man diese definieren kann. Die anderen kann man ja durch 2er Vektoren oder über eine Kugel in einem euklidischen Raum, also mit 3er Vektoren definieren. |
||||
| 08.06.2006, 21:22 | violetter Halbritter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hyperbolisch ist eine "Ebene", wie du sie nennst, dann wenn es für jede Gerade g und jeden Punkt P, der nicht auf g liegt, mindestens 2 verschiedene Geraden gibt, die beide nicht g scheiden aber trotzdem beide durch P gehen |
||||
| 08.06.2006, 21:24 | Annika555 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke, aber kann mir jemand bitte ein Beispiel für so eine hyperbolische Ebene geben? |
||||
| 09.06.2006, 15:31 | violetter Halbritter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Menge aller Tupel (p,r) mit p in [0,pi*r[ und r in IR |
||||
| Anzeige | ||||
|
|
||||
| 09.06.2006, 15:36 | Annika555 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mag ja sein aber: # wie berechne ich jetzt den Abstand von zwei Punkten in diesem Beispiel # Was ist eine Gerade in diesem Beispiel # Wie berechne ich den Winkel zwischen 3 Punkten in diesem Beispiel |
||||
| 09.06.2006, 16:02 | Der böse Rächer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schrott! Da könnte man doch auch (p,r) mit p in [0,pi[ nehmen, wenn man da oben die Tupel (p/r,r) nimmt, das wäre dann unsere euklidische Ebene nur eben durch Polarkoordinaten ausgedrückt! |
||||
| 09.06.2006, 16:25 | violetter Halbritter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Herzlichen Glückwunsch! Du hast es geschafft eine Bijektion zwischen den beiden Ebenen herzustellen nämlich durch Verebnung Der Abstand von (p,s) zu (p,r) ist |r-s| |
||||
| 09.06.2006, 17:42 | Annika555 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und was ist wenn das p nicht gleich ist? |
||||
| 09.06.2006, 18:04 | quarague | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wenn man im Differentialgeometrischen Sinn von hyperbolischer Ebene spricht (und ich glaube so meinst du das auch) versteht man darunter die obere Halbebene der komplexen Zahlen mit einer besonderen Metrik. die normale euklidische Ebene hat als Riemannsche Mannigfaltikkeit die Metrik dx²+dy² bezüglich dieser ist die Ebene dann auch nicht gekrümmt. Die hyperbolische Ebene dagegen ist die Menge mit der Metrik y²dx²+dy² diese hat dann eine Krümmung von konstant -1. |
||||
| 09.06.2006, 18:12 | Annika555 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke quarage, Leider verstehe ich die Vorschrift der Abstandsfunktion nicht recht Was ist y²dx²+dy²? kannst du das auch in der Form d(P,Q) = ... schreiben? |
||||
| 11.06.2006, 11:23 | Annika555 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also, bei der euklidischen Ebene haben wir: Ich sehe da nur entfernt ein Zusammenhang mit dx²+dy² bei der hyperbolischen Ebene haben wir: y²dx²+dy², OK wie kann man das jetzt nach umformen? Nach dem was oberen Zusammenhang zu schließen müsste das irgendetwas wie sein |
||||
| 11.06.2006, 14:59 | quarague | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
die Abstandsfunktion kannst du leider nicht so ohne weiteres auf die hyperbolische Ebene übertragen, da muss man noch eine Weile rechnen. Das was ich angegeben habe, ist eine Metrik, also ein Skalarprodukt im Tangentialraum der Mannigfaltigkeit in jedem Punkt. Die "Geraden", genauer die Geodäten, also die Linien die kürzeste Abstände realisieren, sind in der der hyperbolischen Ebene Halbkreise mit Mittelpunkt auf der reellen Achse. einen Winkel mit 3 Punkten kannst du damit noch ganz gut berechnen. Konstruiere die beiden Halbkreise, zeiche jeweils eine Tangente im Schnittpunkt, der Winkel ist dann der zwischen den beiden Tangenten. Um den Abstand zweier Punkte zu berechnen, müsstest du erst den Halbkreis als Kurve, sagen wir , parametrisieren und danach einmal entlang dieser Kurve integrieren. Sei und . Dann ist Dabei ist das Skalarprodukt genau das was ich mit y²dx²+dy² angegeben habe und dg ist das Maß, was dadurch induziert wird. Das sieht jetzt alles ziemlich krass aus, aber ich weiss nicht wieviel Vorbilduing du hast, man kann sowas in einer Mathe-Vorlesung zu Differentialgeometrie, sagen wir im 5. Semester, lernen. |
||||
| 14.12.2007, 17:37 | Pejosh | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich antworte mal hier, weil es um das gleiche Thema geht. Ich höre gerade Diff-Geometrie für Lehramt Sek. 2 und habe wegen Krankheit die letzten 3 Vorlesungen verpasst. Nun stehe ich auf dem Schlauch. Ich tippe euch erstmal die Aufgabe ab und dann die konkrete Fragestellung. Aufgabe: Es sei ein Weg in der hyperbolischen Ebene. Zeigen Sie, dass seine (hyperbolische) Länge, L, invariant unter der Transformation ist, d.h. . So, nun ist aber mein Problem, dass ich weder weiß was der Weg ist noch die Länge L. Kann mir da jemand helfen? |
||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
| Die Neuesten » |
|
