Spiegelung eines Punktes an einer Geraden.

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VdV Auf diesen Beitrag antworten »
Spiegelung eines Punktes an einer Geraden.
So,

Da ich die Spiegelung immernoch nicht ganz verstanden habe, ich dies aber am Dienstag für mein mündliches Abi können muss, versuche ich hier mal ein Beispiel zu rechnen. Es wäre super nett, wenn jemand überprüfen könnte, ob ich alles richtig mache...

Also nehmen wir mal an, der Punkt P soll an einer Geraden gespiegelt werden, die durch die Punkte A und B festgelegt sind.

Es gilt: P (5;3;5) A (-1;6;3) und B (3;-3;2)

Dann gilt ja für die gerade an der gespiegelt werden soll:

g: + r *

Nun erstelle ich, soweit ich weiß, eine Gerade, die senkrecht auf g steht und durch den Punkt P verläuft. Den Richtungsvektor dieser Gerade bekomme ich, indem ich einen Vektor finde dessen Skalar-Produkt mit dem Richtungsvektor der Geraden =0 ergibt. Das wäre z.B.:

Für diese gerade gilt also: h: + s *

Eigentlich muss man nun doch den Schnittpunkt der beiden Geraden berechnen, hier stecke ich aber fest, weil g und h keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben, dass kann doch aber eigentlich nicht sein, oder?

Danke schon einmal im vorraus für eure Hilfe!!!
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spiegelung eines Punktes an einer Geraden.
nicht eine senkrechte gerade sondern eine zu g senkrechte EBENE aufstellen, schnittpunkt S von g und E berechnen, gerade durch P uns S, im doppelten abstand PS => P*(-3/0/0).
zahlen ohne gewähr
werner
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Der Punkt soll gespiegelt werden. Sein Bildpunkt heiße . Die zugehörigen Ortsvektoren seien und .

Alle Arten der Spiegelung können auf die Punktspiegelung zurückgeführt werden.


I. Punktspiegelung an



Der Vektor wird an , den Ortsvektor von , angesetzt:




II. Geradenspiegelung an



Die Gerade liege in Parameterdarstellung mit als Ortsvektor eines Punktes und als Richtungsvektor vor:



1. Ebene durch mit



2. und schneiden

Einsetzen von in die Ebenengleichung, Parameter ermitteln, diesen in die Geradengleichung einsetzen. Man erhält so den Schnittpunkt von und .

3. Jetzt an punktspiegeln. Man erhält so .


III. Ebenenspiegelung an



Die Ebene liege in Normalenform mit als Ortsvektor eines Punktes und als Normalenvektor vor:



1. Gerade durch mit



2. und schneiden

Einsetzen von in die Ebenengleichung, Parameter ermitteln, diesen in die Geradengleichung einsetzen. Man erhält so den Schnittpunkt von und .

3. Jetzt an punktspiegeln. Man erhält so .
VdV Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold: Danke für die Anleitung, die hat mir sehr geholfen!

Noch eine kleine Nachfrage: Wenn ich jetzt statt eines Punktes eine Gerade spiegeln möchte, dann muss ich doch einfach nur zwei Punkte der Geraden spiegeln und anschließend kann ich aus den beiden "Spiegelpunkten" die gespiegelte gerade konstruieren, oder?

@werner: hab ich auch für den gespiegelten Punkt P´ raus. Danke!
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

ja, 2 punkte spiegeln, ist richtig.
werner
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von VdV
Wenn ich jetzt statt eines Punktes eine Gerade spiegeln möchte, dann muss ich doch einfach nur zwei Punkte der Geraden spiegeln und anschließend kann ich aus den beiden "Spiegelpunkten" die gespiegelte gerade konstruieren, oder?


Freude
 
 
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