Zusammenhängende Mengen

09.06.2006, 20:23

gessi

Zusammenhängende Mengen

Ich soll beweisen:

Es seien A, B zwei Teilmengen eines topologischen (metrischen) Raums, welche in dem topologischen Unterraum $\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ abgeschlossen sind. Sind $\begin{eqnarray*} A \cap B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ zusammenhängend, so sind auch A und B zusammenhängend. Gilt die Aussage auch, falls A, B offen in $\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ sind?

Anmerkung: Über der Aufgabe steht "Sehen Sie den Zusammenhang zwischen den Teilaufgaben", in a) zeige ich, dass eine Menge A eines topologischen (metrischen) Raums genau dann zus., wenn jede stetige Abbildung f: A -> N konstant ist; in b) zeige ich: Wenn A, B zwei zus. Teilmengen topologischen Raums sind und $\begin{eqnarray*} A \cap \bar{B} \end{eqnarray*}$ nicht leer oder $\begin{eqnarray*} \bar{A} \cap B \end{eqnarray*}$ nicht leer; dann auch $\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ zusammenhängend.

Falls jemand die ganze Aufgabe genau interessiert: hier und dann Lehre - Analysis2 - Blatt 7
(Wie bekomme ich da die Adresse von dem Blatt???)

Ich habe die Definitionen "Ein metrischer Raum X heißt unzusammenhängend, wenn es offene, disjunkte, nicht-leere Mengen A, B X gibt mit X = A B. Der Raum heißt zusammenhängend, wenn er nicht unzusammenhängend ist" und "X zusammenhängend <=> leere Menge und X sind die einzigen Teilmengen von X, die offen und abgeschlossen sind".
Über Abgeschlossenheit weiß ich, dass eine Teilmenge A von X (X metr. Raum) abgeschlossen ist, wenn ihr Komplement X\A offen ist oder wenn jede konvergente Folge einen Grenzwert in A hat.

Ich hab leider keine Ahnung, wie ich da überhaupt anfangen soll. Hat jemand einen Tip für einen Ansatz oder sieht jemand, was a) und b) mit der Aufgabe zu tun haben?

Ich bin für jeden Hinweis dankbar.

P.S. Wie kann ich das Durchschnitt-Symbol (und ein etwas kleineres Vereinigungssymbol) darstellen?

10.06.2006, 21:54

Abakus

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RE: Zusammenhängende Mengen
Erstmal ist:

\cup = $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ ,
\cap = $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ .

Bei deiner Aufgabe hast du die Teile a) + b) wohl bereits gelöst, ok. Für den dritten Teil versuche es zB indirekt:

Angenommen A ist nicht zusammenhängend. Dann existieren disjunkte Mengen $\begin{eqnarray*} A_1, A_2 \end{eqnarray*}$ , die A nichttrivial zerlegen und beide offen sind. Wenn nun beide Mengen $\begin{eqnarray*} A_1, A_2 \end{eqnarray*}$ die Menge B schneiden, hätten wir eine Zerlegung von $\begin{eqnarray*} A \cap B \end{eqnarray*}$ (nichtleer!) gefunden, das geht demnach nicht. Wenn genau eine Menge B schneidet, lässt sich daraus eine Zerlegung von $\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ konstruieren. Widerspruch !

Der Zusammenhang mit den Aufgabenteilen a) und b) ist wohl, dass c) eine Art Umkehrung von b) ist (hier gehen noch zusätzliche Bedingungen ein) und a) eine weitere Definition von Zusammenhang ist (im Fall einer unzusammenhängenden Menge gibt es eine nichtkonstante, stetige Abb. wie beschrieben, die Urbilder der einpunktigen Mengen liefern dann eine Zerlegung der unzusammenhängenden Menge).

Grüße Abakus smile

11.06.2006, 13:33

gessi

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RE: Zusammenhängende Mengen
Danke!!!

Zitat:

Bei deiner Aufgabe hast du die Teile a) + b) wohl bereits gelöst, ok.

Naja, gelöst ist bei der b) übertrieben - ich hab dran rumgerätselt und versucht, einen Beweis aus einem Buch nachzuvollziehen, aber leider ohne Erfolg (gestern dachte ich noch, dass ich das vielleicht wenigstens nachvollziehen kann; aber erstens kann ich das nicht und zweitens ist die Aufgabe doch etwas anders). Vor allem ist mir nicht ganz klar, was die Bedingungen mit dem Abschluss sollen bzw. wie ich die einbringen kann.

Zitat:

Wenn nun beide Mengen $\begin{eqnarray*} A_1, A_2 \end{eqnarray*}$ die Menge B schneiden, hätten wir eine Zerlegung von $\begin{eqnarray*} A \cap B \end{eqnarray*}$ (nichtleer!) gefunden, das geht demnach nicht. Wenn genau eine Menge B schneidet, lässt sich daraus eine Zerlegung von $\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ konstruieren. Widerspruch !

Meinst du damit, dass in diesem Fall sowohl $\begin{eqnarray*} A \cap B \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ als nicht zusammenhängend rauskommen und dass ein Widerspruch dazu ist, dass sie zusammenhängend sein sollen?
Könnte man das auch als Beweis der Form (A => B) <=> (nicht A => nicht B) sehen? D.h. A (und B) nicht zusammenhängend => $\begin{eqnarray*} A \cap B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ nicht zusammenhängend. Ist das letztendlich einfach dasselbe nur anders geschrieben?

11.06.2006, 16:18

Abakus

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RE: Zusammenhängende Mengen

Zitat:

Original von gessi
Naja, gelöst ist bei der b) übertrieben - ich hab dran rumgerätselt und versucht, einen Beweis aus einem Buch nachzuvollziehen, aber leider ohne Erfolg (gestern dachte ich noch, dass ich das vielleicht wenigstens nachvollziehen kann; aber erstens kann ich das nicht und zweitens ist die Aufgabe doch etwas anders). Vor allem ist mir nicht ganz klar, was die Bedingungen mit dem Abschluss sollen bzw. wie ich die einbringen kann.

Am Besten stellst du deinen Beweis - soweit vorhanden - mal vor.

Zitat:

Nein. Das ganze ist sehr kurz gefasst und sollte als Hinweis zu verstehen sein (also kein kompletter Beweis!). Ich habe zuerst gezeigt, dass nicht beide Zerlegungsmengen $\begin{eqnarray*} A_1, A_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A \cap B \end{eqnarray*}$ einen nichtleeren Schnitt haben können:

Wäre das der Fall, wäre mit $\begin{eqnarray*} (A_1 \cap B) \cup (A_2 \cap B) = A \cap B \end{eqnarray*}$ eine Zerlegung von $\begin{eqnarray*} A \cap B \end{eqnarray*}$ gefunden (beide Zerlegungsmengen sind offen bzgl. der Relativtopologie bzgl. $\begin{eqnarray*} A \cap B \end{eqnarray*}$ ). Das wäre ein Widerspruch zum Zusammenhang dieser Menge.

Also kannst du o.E. annehmen, dass $\begin{eqnarray*} A_1 \supseteq (A \cap B),~ A_2 \cap (A \cap B) = \O \end{eqnarray*}$ . Jetzt zeige, dass unter diesen Voraussetzungen $\begin{eqnarray*} A_1 \cup B, A_2 \end{eqnarray*}$ eine Zerlegung von $\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ bilden.

Zitat:

Könnte man das auch als Beweis der Form (A => B) <=> (nicht A => nicht B) sehen? D.h. A (und B) nicht zusammenhängend => $\begin{eqnarray*} A \cap B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ nicht zusammenhängend. Ist das letztendlich einfach dasselbe nur anders geschrieben?

Andersrum dann: (A => B) <=> (nicht B => nicht A). Allerdings musst du die Aussagen richtig negieren, die Negation von (A und B zusammenhängend) wäre (A oder B ist/sind nicht zusammenhängend).

Grüße Abakus smile

EDIT: Latex

11.06.2006, 18:03

gessi

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RE: Zusammenhängende Mengen

Zitat:

Original von Abakus

Am Besten stellst du deinen Beweis - soweit vorhanden - mal vor.

"Soweit vorhanden" trifft die Sache...

$\begin{eqnarray*} A \cap \bar{B} \neq \O \end{eqnarray*}$ habe ich mir erstmal umgeschrieben als $\begin{eqnarray*} A \cap (B \cup Rand~von~B) = (A \cap B) \cup (A \cap Rand~von~B) \end{eqnarray*}$ .

Dann habe ich angenommen, $\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ nicht zusammenhängend, d.h. es existieren offene disjunkte Mengen U, V mit $\begin{eqnarray*} U \cup V = A \cup B \end{eqnarray*}$ . Dann ist A Teilmenge von U, von V oder von $\begin{eqnarray*} U \cup V \end{eqnarray*}$ .
Aber das hilft mir nicht weiter...

Zitat:

Nein. Das ganze ist sehr kurz gefasst und sollte als Hinweis zu verstehen sein (also kein kompletter Beweis!).

Schon klar Augenzwinkern

Ich wollte nur wissen, ob das das ist, was ich zeigen soll.

Zitat:

Also kannst du o.E. annehmen, dass $\begin{eqnarray*} A_1 \supseteq (A \cap B),~ A_2 \cap (A \cap B) = \O \end{eqnarray*}$ . Jetzt zeige, dass unter diesen Voraussetzungen $\begin{eqnarray*} A_1 \cup B, A_2 \end{eqnarray*}$ eine Zerlegung von $\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ bilden.

$\begin{eqnarray*} (A_1 \cup B) \cup A_2 \end{eqnarray*}$ müssten also erstens $\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ ergeben und zweitens müsste ihr Schnitt leer sein. Ersteres ist trivial.
$\begin{eqnarray*} (A_1 \cup B) \cap A_2 = (A_1 \cap A_2) \cup (B \cap A_2) \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} A_1 \cap A_2 \end{eqnarray*}$ ist nach Vor. leer. $\begin{eqnarray*} B \cap A_2 \end{eqnarray*}$ muss ebenfalls leer sein, der Schnitt von $\begin{eqnarray*} A \cap B in A_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_1 \cap A_2 = leere Menge \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Andersrum dann: (A => B) <=> (nicht B => nicht A).

Ups, verschrieben smile

Das meinte ich.

11.06.2006, 20:53

Abakus

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RE: Zusammenhängende Mengen

Zitat:

1b) Seien A, B zusammenhängend und ( $\begin{eqnarray*} A \cap \bar{B} \ne \O~\mbox{oder}~\bar{A} \cap B \ne \O \end{eqnarray*}$ ).

Z.z.: Dann ist $\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ zusammenhängend.

Angenommen nicht. Dann existieren nichtleere, disjunkte, offene Mengen $\begin{eqnarray*} C_1, C_2 \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ zerlegen.

Nun gilt zB: $\begin{eqnarray*} (A \cap C_1) \cup (A \cap C_2) = A \end{eqnarray*}$ Da A zusammenhängend ist, kann das keine Zerlegung von A sein, d.h. eine der Zerlegungsmengen ist leer. O.E. sei $\begin{eqnarray*} A \cap C_1 = \O, C_2 \supseteq A \end{eqnarray*}$ .

Analog kannst das auf B anwenden.

Zeige nun, dass $\begin{eqnarray*} A = C_2, B = C_1 \end{eqnarray*}$ gelten muss. Da $\begin{eqnarray*} C_1, C_2 \end{eqnarray*}$ auch abgeschlossen sind, folgt damit nun ein Widerspruch zur Voraussetzung $\begin{eqnarray*} A \cap \bar{B} \ne \O~\mbox{oder}~\bar{A} \cap B \ne \O \end{eqnarray*}$ .

Grüße Abakus smile

11.06.2006, 21:07

gessi

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RE: Zusammenhängende Mengen

Zitat:

Original von Abakus
Zeige nun, dass $\begin{eqnarray*} A = C_2, B = C_1 \end{eqnarray*}$ gelten muss. Da $\begin{eqnarray*} C_1, C_2 \end{eqnarray*}$ auch abgeschlossen sind

Warum sind $\begin{eqnarray*} C_1, C_2 \end{eqnarray*}$ auch abgeschlossen?

11.06.2006, 21:17

Abakus

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RE: Zusammenhängende Mengen

Zitat:

Original von gessi
Warum sind $\begin{eqnarray*} C_1, C_2 \end{eqnarray*}$ auch abgeschlossen?

Weil das Komplement jeweils offen ist (die Mengen sind gegenseitig ihre Komplemente in $\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ ).

Grüße Abakus smile

11.06.2006, 22:10

gessi

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RE: Zusammenhängende Mengen
Hammer

Danke nochmal!

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