Volumen von Körper zwischen Tangente,Ellipse und y-Achse

24.05.2004, 20:30

Tets

Volumen von Körper zwischen Tangente,Ellipse und y-Achse

Hallo

Heut schaff ichs hoffentlich mal ohne Fehler

Gegeben sind

$\begin{align*} ell.: 3x^2 + 4y^2 = 144 \end{align*}$

$\begin{align*} hyp.: x^2 - 3y^2 = 9 \end{align*}$

Berechne Schnittpunkt und Schnittwinkel

Das von der Hyperbel-Tangente in P (6/3), der y-Achse und dem Ellipsenbogen zwischen D (0/6) und P (6/3) begrenzte Flächenstück rotiert um die y-Achse - berechne das Volumen

na dann mal los...

$\begin{align*} x^2 = 9 + 3y \end{align*}$

$\begin{align*} 3 (9 + 3y^2) + 4y^2 = 144 \end{align*}$

$\begin{align*} 13y^2 = 117 \end{align*}$

$\begin{align*} y = \pm 3 \end{align*}$

$\begin{align*} x = \pm 6 \end{align*}$

$\begin{align*} S (6/3) \end{align*}$ (u.a.)

Nun berechne ich mit der Ellipsen und Hyperbel Tangentengleichung die beiden Tangenten

$\begin{align*} 36 *6x +48*3y = 1728 \end{align*}$

$\begin{align*} ell.: t: y = -\frac{9}{16} x +12 \end{align*}$

$\begin{align*} 9*6x - 9*3y = 27 \end{align*}$

$\begin{align*} hyp.: t: y = \frac{2}{3} x -1 \end{align*}$

Nun der Schnittwinkel...

$\begin{align*} tan (alpha) = \frac{\frac{2}{3} + \frac{9}{16}}{1 + \frac{2}{3}* -\frac{9}{16} } \end{align*}$

$\begin{align*} alpha = 63,04 \end{align*}$

Nun widme ich mich der Voluminaberechnung...die Hyperbel-Tangente im Punkt P hab ich ja schon...

Integrationsgrenzen sind [-1 ; 6]

ich drücke mir x² aus

$\begin{align*} x^2 = 48 - \frac{4}{3} y^2 \end{align*}$

$\begin{align*} x = \frac{3}{2} y + \frac{3}{2} \end{align*}$

$\begin{align*} x^2 = \frac{9}{4} y^2 + \frac{18}{4} y + \frac{9}{4} \end{align*}$

nun setze ich in die Formel ein..

$\begin{align*} V = \pi\Bigint_{-1}^6 [48 - \frac{4}{3} y^2] - [ \frac{9}{4} y^2 + \frac{18}{4} y + \frac{9}{4} ] \end{align*}$

$\begin{align*} \[V\]_{-1}^6 = \pi ( [48y - \frac{4}{6} y^3] - [ \frac{9}{12} y^3 + \frac{18}{8} y^2 + \frac{9}{4} y ] \end{align*}$

$\begin{align*} \[V\]_{-1}^6 = \pi ( [[48*6 - \frac{4}{6} 6^3] - [ \frac{9}{12} 6^3 + \frac{18}{8} 6^2 + \frac{9}{4} 6 ]] - [[48*-1 - \frac{4}{6} -1^3] - [ \frac{9}{12} -1^3 + \frac{18}{8} -1^2 + \frac{9}{4}* -1 ]]) \end{align*}$

$\begin{align*} V = \pi ( [[288 - 48] - [ 162 + 81 +13,5 ]] -[[- 47,3 ] - [ - 0,75 + 2,25 - 2,25 ]]) \end{align*}$

$\begin{align*} V = 30 \pi \end{align*}$ (ungefähr)

Kann mir das jemand bestätigen, bzw, schauen ob mein Denk und Rechengang richtig is, ich hoffe ich habe alles verständlich dargelegt
danke !

24.05.2004, 21:52

Tets

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25.05.2004, 00:06

Ben Sisko

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Bitte unterlasse solche Doppelposts, dadurch wird dir auch nicht schneller geholfen. Im Gegenteil, bei mir persönlich erregt ein Thread mit 0 Antworten mehr Aufmerkamkeit als ein Thread, der schon beantwortet wurde.

Gruß vom Ben

25.05.2004, 00:10

Tets

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ja ok, ich werds mir merken

25.05.2004, 10:29

grybl

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RE: Volumen von Körper zwischen Tangente,Ellipse und y-Achse
Es sind leider einige Fehler drinnen.

Schnittpunkt stimmt.

Tangentengleichung in der Form y = kx + d solltest du noch einmal überprüfen. k stimmt nicht!

zur Volumsberechnung:

Mache zuerst einmal eine Skizze und schau, wo die Tangente die x-Achse schneidet. Warum du -1 als Integrationsgrenze nimmst verwirrt

?

Bei Flächen- und Volumsberechnungen ist eine Skizze unbedingt erforderlich!!

Wink

25.05.2004, 14:39

Tets

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danke für deine Hilfe smile

$\begin{align*} ell.: t: y = -\frac{3}{2} x + 12 \end{align*}$

$\begin{align*} hyp.: t: y =2x -1 \end{align*}$

so jetzt müssten sie passen (ausser ich steh auf der Leitung)

Zitat:

Mache zuerst einmal eine Skizze und schau, wo die Tangente die x-Achse schneidet. Warum du -1 als Integrationsgrenze nimmst verwirrt

Weil die Hyperbel-Tangente die y-Achse bei -1 schneidet ; ich muss ja um die y-Achse rotieren (ich lass mich gerne eines besseren belehren Augenzwinkern

)

Ich bin auch auf einen Fehler gekommen:

die Tangente muss ich von -1 ; 3 berechnen, die Ellipse von 3 ; 6

Zusammengerechnet ergibt dass das Volumen des zu berechnenden Körpers (ich habe vorher das Volumen der Ellipse minus dem Volumen der Tangente genommen, das ist wohl nicht richtig...)

oder ?

danke nochmal Wink

(ich werds dann noch rechnen, nur jetzt muss ich mich mal entspannen.. Augenzwinkern

)

25.05.2004, 18:12

grybl

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Also zuerst mal entschuldigung, ich habe scheinbar die Angabe zu oberflächlich gelesen und nicht beachtet, dass um die y-Achse rotiert wird. traurig

Tangentengleichung Ellipse stimmt jetzt, Tangentengleichung Hyperbel war zuerst schon richtig. Wie kommst du denn da vom richtigen Einsetzen zu falschen gekürzten Werten verwirrt

25.05.2004, 18:34

Tets

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Zitat:

Original von grybl
Tangentengleichung Ellipse stimmt jetzt, Tangentengleichung Hyperbel war zuerst schon richtig. Wie kommst du denn da vom richtigen Einsetzen zu falschen gekürzten Werten verwirrt

Ich hab ne falsche Angabe in dem Text, mit der hab ich vorher grad gerechnet unglücklich

$\begin{align*} 9*6x - 9*3y = 27 \end{align*}$ sollte $\begin{align*} 3*6x - 9*3y = 27 \end{align*}$ sein

Zitat:

Original von grybl
Also zuerst mal entschuldigung, ich habe scheinbar die Angabe zu oberflächlich gelesen und nicht beachtet, dass um die y-Achse rotiert wird. traurig

Macht ja nix Augenzwinkern

, du hast mir trotzdem gholfen :]

Eine Frage bleibt noch offen

die Tangente hat die Integrationsgrenzen -1 ; 3 , die Ellipse 3 ; 6

Zusammengerechnet ergibt das das Volumen des zu berechnenden Körpers

Stimmt das ?

danke

25.05.2004, 18:44

grybl

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RE: Volumen von Körper zwischen Tangente,Ellipse und y-Achse
Das stimmt. :]

25.05.2004, 19:20

Tets

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na perfekt Tanzen

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