Doppelintegrale

09.06.2006, 21:37

Marcelc

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Doppelintegrale

Hallo zusammen,

ich benötige dringend eure Hilfe... Folgendes Problem ich schreibe in 4 Wochen eine Klausur in der Doppelintegrale vorkommen und sitze gerade vor Klausuren aus den Vorjahren und habe keine Ahnung wie ich an die Sache rangehen soll.

Gruss Marcel

09.06.2006, 22:46

derkoch

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wir leider auch nicht, da wir deine aufgaben nicht kennen! unglücklich

unglücklich

wenn du also konkrete fragen zu konkreten aufgaben hast , dann bitte die aufgaben auch mitliefern! smile

smile

16.06.2006, 13:36

MarcelC

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die Funktion ist

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{3}\int_{1}^{4}~x+y+2 dx dy \end{eqnarray*}$

erstmal nur ein Integral mit festen Grenzen, denn man will ja klein anfangen.

16.06.2006, 13:54

AD

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Immer von innen nach außen:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{1}^{3} ~ \int\limits_{1}^{4} ~ x+y+2 ~ \mathrm{d}x ~ dy = \int\limits_{1}^{3} ~ \left[ \int\limits_{1}^{4} ~ x+y+2 ~ \mathrm{d}x \right] ~ dy \end{eqnarray*}$

Manchmal lohnt es sich auch, die Integrationsreihenfolge zu vertauschen, aber im vorliegenden Fall ist das egal.

16.06.2006, 17:47

mercany

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Manchmal lohnt es sich auch, die Integrationsreihenfolge zu vertauschen, aber im vorliegenden Fall ist das egal.

Nur mal so aus Interesse: Kannst du mal ein Beispiel vor so einen Fall geben?`

Gruß, mercany

16.06.2006, 17:55

AD

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Na z.B. sowas: $\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\infty} ~ \int\limits_0^{\pi} e^{-\frac{y}{\sin(x)}} ~ \mathrm{d}x ~ \mathrm{d}y \end{eqnarray*}$

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16.06.2006, 19:03

Chris2005

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Immer von innen nach außen:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{1}^{3} ~ \int\limits_{1}^{4} ~ x+y+2 ~ \mathrm{d}x ~ dy = \int\limits_{1}^{3} ~ \left[ \int\limits_{1}^{4} ~ x+y+2 ~ \mathrm{d}x \right] ~ dy \end{eqnarray*}$

bin nicht wirklich geübt mit 2dimensionalen integralen, wenn die stammfunktion erst mal bestimmt ist, wie muss man die obere bzw. unteren grenzen einsetzen?

mfg chris

16.06.2006, 19:07

AD

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Na erstmal das innere Integral, mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ als Integrationsvariable. $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ kannst du dort einstweilen als Konstante ansehen.

16.06.2006, 19:42

Chris2005

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Ist dann das die richtige Stammfunktion

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2\cdot y}{2} + \frac{x\cdot y^2}{2} + 2\cdot x\cdot y \end{eqnarray*}$

? wenn ja, wie muss ich nun untere und obere grenzen des integrals einsetzen?

mfg chris

16.06.2006, 19:45

system-agent

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die stammfunktion stimmt. ansonsten immer mit ableiten überprüfen smile

smile

16.06.2006, 19:50

JochenX

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Nein, das stimmt nicht.
Erst das ganze Integral nach x berechnen, dafür dann nach Integration nach x auch schön die Grenzen einsetzen.
Wenn du dann das zweite Mal nach y integrierst, dürfen vor- und hinterher keine x mehr da stehen.

16.06.2006, 19:57

Chris2005

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Hätt ich so probiert, ist 39 die endlösung?

mfg chris

16.06.2006, 20:10

JochenX

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"Endlösung" ist so ein negativ anklingendes Wort, aber als Lösung würde ich der 39 zustimmen.

Freude

Freude

16.06.2006, 20:12

Chris2005

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danke, hab eine neue lektion gelernt: lösung von 2dimensionalen integralen *freu* Prost

Prost

smile

mfg chris

17.06.2006, 13:51

mercany

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Na z.B. sowas: $\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\infty} ~ \int\limits_0^{\pi} e^{-\frac{y}{\sin(x)}} ~ \mathrm{d}x ~ \mathrm{d}y \end{eqnarray*}$

Stimmt.

smile

Danke sehr, Arhtur!

Gruß, mercany

17.06.2006, 13:58

system-agent

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Zitat:

Original von LOED
Nein, das stimmt nicht.

ich meinte unbestimmt berechnet... verwirrt

verwirrt

17.06.2006, 14:02

JochenX

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und wie setzt du da jetzt deine Grenzen ein?
ich bin da nicht so gewandet, denke aber, das was du machst, geht nicht. Insbesondere kann in manchen Fällen ja bei der Integration nach x durch Grenzeneinsetzen noch etwas y dazu kommen, wenn nämlich diese Grenzen von y abhängen.

Und dann fragt sich, was das bringt, was ihr da berechnet habt......
Eine sinnvolle Stammfunktion im Sinne von der Integralrechnung ist das nicht, imho.

Bitte um Expertenmeinung.

17.06.2006, 14:09

AD

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Naja, mit einer "zweidimensionalen" Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F(x,y) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial}{\partial x} F(x,y) = f(x,y) \end{eqnarray*}$ , und konstanten Integrationgrenzen integriert man so über ein Rechteck:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_c^d ~ \int\limits_a^b ~ f(x,y) ~ \mathrm{d}x ~ \mathrm{d}y = F(b,d)-F(a,d)-F(b,c)+F(a,b) \end{eqnarray*}$

Ich würde diesen Weg aber nicht empfehlen, aus den gleichen Gründen wie Jochen: Wenn man es z.B. mit

$\begin{eqnarray*} \int\limits_c^d ~ \int\limits_{a(y)}^{b(y)} ~ f(x,y) ~ \mathrm{d}x ~ \mathrm{d}y \end{eqnarray*}$ ,

also mit von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ abhängigen Grenzen des inneren $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Integrals zu tun hat, klappt das schon nicht mehr. Und warum soll man sich soviel Zeugs merken, wenn der andere Weg soviel einfacher und klarer ist. smile

smile

17.06.2006, 14:10

mercany

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erledigt

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