Konvergenz: so richtig gedacht?

08.09.2008, 18:30

Desructor

Konvergenz: so richtig gedacht?

Hallo,

folgende Folge liegt vor

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty\; (\frac{10}{k})^k \end{eqnarray*}$

und ich will gucken ob sie konvergent ist.

Ich kann das doch auf (mind.) drei Arten machen!?

1. Einfach den limes bilden und fesstellen, dass 0 rauskommt. Mit der zusätzlichen Feststellung, dass die Folge immer positiv ist, fällt sie somit monoton und kann sagen, dass die Folge gegen 0 konvergiert.

2. Ich verwende das Quotientenkriterium und haben folgenden Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} (\frac{k}{k+1})^k \frac{10}{k+1} \longmapsto 0 \end{eqnarray*}$

mit dem Kriterium <1 folgt dann die Konvergenz der Reihe mit dem Grenzwert 0

3. Mit dem Wurzelkriterium folgt dann sogar die absolute Konvergenz.

Sind die drei Gedanken richtig und so auch anwendbar?

P.S. Als kleiner Tipp? Wann nehm ich welches Kritrium?

08.09.2008, 19:01

Desructor

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Noch eine Verständnisfrage:

Ich kann doch jeder Folge ersteinmal Prüfen, ob sie eine Nullfolge ist, was ja vorraussetzug für Konvergenz ist. Wenn nicht 0 rauskommt, kann ich mir die arbeit mit den einzelnen Kriterien sparen?

THX im Voraus

Gruß

08.09.2008, 19:34

Romaxx

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RE: Konvergenz: so richtig gedacht?
Hallo,

Zitat:

folgende Folge liegt vor

du meinst Reihe.

Zitat:

1. Einfach den limes bilden und fesstellen, dass 0 rauskommt. Mit der zusätzlichen Feststellung, dass die Folge immer positiv ist, fällt sie somit monoton und kann sagen, dass die Folge gegen 0 konvergiert.

Dass die Folge $\begin{eqnarray*} a_k=(\frac{10}{k})^k \end{eqnarray*}$ der Reihe $\begin{eqnarray*} s_n=\sum_{k=1}^n\;a_k =\sum_{k=1}^n\; (\frac{10}{k})^k \end{eqnarray*}$ gegen Null konvergiert, ist lediglich ein notweniges Kriterium, aber es sagt dir noch nicht, ob die Folge der Partialsummen konvergiert.

Zitat:

2. Ich verwende das Quotientenkriterium und haben folgenden Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} (\frac{k}{k+1})^k \frac{10}{k+1} \longmapsto 0 \end{eqnarray*}$

mit dem Kriterium <1 folgt dann die Konvergenz der Reihe mit dem Grenzwert 0

Ja, die Konvergenz folgt, aber nicht, dass die Reihe den Grenzwert 0 hat...

Zitat:

3. Mit dem Wurzelkriterium folgt dann sogar die absolute Konvergenz.

Das folgt schon aus dem Quotientenkriterium.

Zitat:

Ich kann doch jeder Folge ersteinmal Prüfen, ob sie eine Nullfolge ist, was ja vorraussetzug für Konvergenz ist. Wenn nicht 0 rauskommt, kann ich mir die arbeit mit den einzelnen Kriterien sparen?

Soweit du die Folge innerhalb der Reihe meinst, ja.

Schau dir den Text an, den ich zu den einzelnen Passagen geschrieben habe, ein Blick auf die Defintion der Kriterien, wäre auch nicht verkehrt.

08.09.2008, 20:41

Desructor

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Hey,

Zitat:

du meinst Reihe.

Jupp :-)

Zitat:

Aber sagt mir nicht die monotonie der Folge, dass sie gegen Null konvergiert?

Zitat:

Ja, die Konvergenz folgt, aber nicht, dass die Reihe den Grenzwert 0 hat...

Wieso nicht? Ich weiß, dass das Kriterium nur zur Konverkenzbestimmung dient aber warum entspricht das Ergebnis nicht dem Grenzwert? Denn ich bilde doch den limes wie beim Grenzwert?

Zitat:

Das folgt schon aus dem Quotientenkriterium.

Ja, aber es sollte ja als alternative zählen und das Quotientenkriterium gibt auch nur konvergenz an und nicht absolute.

08.09.2008, 20:50

Airblader

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Du musst dir bewusst machen, was eine Reihe ist.

Du summierst zwar Folgenglieder einer Folge, die gegen Null geht. Aber hier sind alle Folgenglieder positiv (Summanden heben sich also nicht gegenseitig auf) und kein einziges ist Null.
Wie soll die Summe dann Null werden können? Selbst, wenn nur ein Summand ungleich Null wäre, würds reichen.

Edit:
Etwas anders ausgedrückt:
Du willst nicht

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \lim_{k \to \infty} \left(\frac{10}{k}\right)^k \end{eqnarray*}$

berechnen, sondern

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \left(\frac{10}{k}\right)^k \end{eqnarray*}$

Und das ist ein bedeutender Unterschied.

air

08.09.2008, 21:43

Romaxx

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Zitat:

Aber sagt mir nicht die monotonie der Folge, dass sie gegen Null konvergiert?

Die Folge $\begin{eqnarray*} a_k=(\frac{10}{k})^k \end{eqnarray*}$ konvergiert offensichtlich gegen Null, aber nicht aufgrund deiner Begründung der Monotonie der Folge, denn die Folge ist gewiss nicht monoton (erst ab $\begin{eqnarray*} n=4 \end{eqnarray*}$ ).
Aber mit dem $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ -Test geht das. Unterscheide die beiden Begriffe Reihe und Folge bitte gründlich.

Zitat:

Wieso nicht? Ich weiß, dass das Kriterium nur zur Konverkenzbestimmung dient aber warum entspricht das Ergebnis nicht dem Grenzwert? Denn ich bilde doch den limes wie beim Grenzwert?

siehe Airblader

Zitat:

Ja, aber es sollte ja als alternative zählen und das Quotientenkriterium gibt auch nur konvergenz an und nicht absolute.

Warum dann das Wörtchen "sogar" im dritten Punkt und nein, auch das Quotientenkriterium liefert absolute Konvergenz.

siehe Hier

Gruß

09.09.2008, 13:40

Desructor

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Erst mal danke für die Hilfe, an alle!

Zitat:

Warum dann das Wörtchen "sogar" im dritten Punkt und nein, auch das Quotientenkriterium liefert absolute Konvergenz.

Jupp hab ich verstanden. Aber müsste es nicht heißen, die Kriterien zeigen Konvergenz und dann Prüfe ich noch ob auch der Betrag konvergent ist. Wenn ja dann ist es absolute Konvergenz? Fürs Verständnis nicht Haarspalterei :-)

Zitat:

Okay monotonie ist falsch, aber mit der Beschränktheit hätte ich argumentieren können? Konvergente Reihe = (Nullfolge + Beschränktheit) der Partialsummenfolge

Zitat:

Und das ist ein bedeutender Unterschied.

Jupp hab ich jetzt verstanden (hoffentlich) :-)

Beide Kriterien sagen bei Grenzwert <1 konvergenz aus. Zählt zu kleiner 1 auch kleiner Null? Also kann auch ein Ergebnis -6 rauskommen und es besteht dann konvergenz? Im Buch ist es eher (nicht explizit) so beschrieben, dass nur Ergebniss größer 0 kleiner 1 für Konvergenz rauskommen.

Als kleiner Kochrezept kann ich mir daoch merken:

Aus einr unendlichen Reihe die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ untersuchen

Wenn Nullolge dann besteht Möglichkeit auf Konvergenz, wenn nicht Divergent

Bei positven Gliedern dann Majoranten/Minoranten ; Quotientenkriterium oder Wurzelkriterium benutzen.

Wenn dann die Partialsummenfolge Konvergent ist auch die Reihe konvergent.

Ich würde immer mit Wurzelkriterium anfangen, weil am stärksten?!

09.09.2008, 14:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von Desructor
Jupp hab ich verstanden. Aber müsste es nicht heißen, die Kriterien zeigen Konvergenz und dann Prüfe ich noch ob auch der Betrag konvergent ist. Wenn ja dann ist es absolute Konvergenz? Fürs Verständnis nicht Haarspalterei :-)

Wenn du Quotienten- oder Wurzelkriterium nimmst, mußt du den Betrag der Folge nehmen. Im Falle der Konvergenz hast du damit automatisch auch die absolute Konvergenz.

Zitat:

Original von Desructor
Okay monotonie ist falsch, aber mit der Beschränktheit hätte ich argumentieren können? Konvergente Reihe = (Nullfolge + Beschränktheit) der Partialsummenfolge

Zusätzlich brauchst du noch die Monotonie der Partialsummenfolge.

Zitat:

Original von Desructor
Beide Kriterien sagen bei Grenzwert <1 konvergenz aus. Zählt zu kleiner 1 auch kleiner Null? Also kann auch ein Ergebnis -6 rauskommen und es besteht dann konvergenz? Im Buch ist es eher (nicht explizit) so beschrieben, dass nur Ergebniss größer 0 kleiner 1 für Konvergenz rauskommen.

Beim Quotienten- oder Wurzelkriterium kann nur ein Grenzwert >= 0 rauskommen. Begründung s.o.

Zitat:

Original von Desructor
Bei positven Gliedern dann Majoranten/Minoranten ; Quotientenkriterium oder Wurzelkriterium benutzen.

Da der Betrag genommen wird, gehen Quotienten- oder Wurzelkriterium auch für negative Folgenglieder.

Zitat:

Original von Desructor
Ich würde immer mit Wurzelkriterium anfangen, weil am stärksten?!

Kommt auf die Folge an. Im Prinzip sind aber Quotienten- und Wurzelkriterium gleich "stark". (Was immer man damit sagen will. smile

)

09.09.2008, 15:42

Desructor

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Ahh durch die Beträge!!! Dadurch sind die andern Fragen logisch zu beantworten :-).

Danke

Was mache ich wenn 1 bei den einzelnen Kriterien (Quotient;Wurzel)rauskommt? abschätzen indem ich die ersten Glieder addiere, ob divergent oder konvergent? Sollte man das machen?

09.09.2008, 15:53

tmo

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Die ersten Glieder zu addieren bringt nichts. Daraus kann man nichts ablesen. Selbst wenn man die ersten 100000 Glieder addiert, würde einem das nicht helfen. Viel mehr sollte man dann z.b. durch geeignete Abschätzungen versuchen, konvergente Majoranten oder divergente Minoranten zu finden.

09.09.2008, 16:04

klarsoweit

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Praktisch ist auch das Verdichtungskriterium bei Reihen wie $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ , wo Quotienten- und Wurzelkriterium versagen.

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