Translation von Graphen von Funktionen in Parameterdarstellung

08.09.2008, 21:58	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Translation von Graphen von Funktionen in Parameterdarstellung Hallo! Ich beschäftige mich derzeit mit dem Beweis der Translationsinvarianz der Bogenlänge von Kurven. Für die kartesische Darstellung von Funktionen habe ich das schon problemlos lösen können, bei mir hakt es jetzt aber noch bei den Funktionen in Parameterdarstellung. Wenn eine Funktion f in kartesischer Darstellung gegeben ist, so lassen sich alle verschobenen ähnlichen Funktionen darstellen durch $\begin{eqnarray} f_{a, b}(x) = f(x-a)+b \end{eqnarray}$ . Gibt es eine solche "Formel" auch für eine parametrisierte Kurve? lg, Düdi
09.09.2008, 11:01	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
schüchternes push
09.09.2008, 12:00	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit "parametrisierte Kurve" meinst du $\begin{eqnarray} (x(t),y(t)) \end{eqnarray}$ ? Na da ist die Verschiebung doch einfach $\begin{eqnarray} (x(t)+a,y(t)+b) \end{eqnarray}$ .
09.09.2008, 17:22	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm mir scheint, dass mir da noch das Verständnis fehlt. Also ich habe die Formel für die Bogenlänge hergeleitet, nämlich $\begin{eqnarray} L = \int \sqrt{ (\dot{x}(t))^2+(\dot{y}(t))^2 }\ dt \end{eqnarray}$ Wenn ich nun den Graph verschiebe, ergibt sich damit mit dem neuen x und y: $\begin{eqnarray} L = \int \sqrt{ (\dot{x}(t)+a)^2+(\dot{y}(t)+b)^2 }\ dt \end{eqnarray}$ Jetzt habe ich aber das Brett vor dem Kopf, das mich daran hindert, auf Translationsinvarianz zu schließen.
09.09.2008, 17:32	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein konstanter Summand verschwindet beim Differenzieren. Gib der neuen Kurve neue Variablen, dann siehst du klarer: $\begin{eqnarray} u(t) = x(t) + a \, , \ \ v(t) = y(t) + b \end{eqnarray}$ EDIT Schreibfehler verbessert
09.09.2008, 19:34	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
ah natürlich, ich muss ja den konstanten faktor nicht bei der ableitung, sondern bei der ursprunggsfunktion dazurechnen dankeeee euch beiden
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