Klausur-Aufgaben

10.06.2006, 20:12

trollkotze

Klausur-Aufgaben

Hallo!
Ich hab heute eine Analysis-Klausur geschrieben. Einige von den Aufgaben, die ich nicht gelöst habe, interessieren mich jetzt. Und so wie ich mich kenne, werden sie mich in einer Woche, wenn sie mir jemand in der Übungsgruppe erklären will oder Lösungen ins Internet stellt, nicht mehr interessieren. Und dann werde ich sie nie verstehen, weil ich dann keine Lust mehr habe.
Deshalb frag ich jetzt mal euch, wie ihr diese Aufgaben lösen würdet.

4) Sei $\begin{eqnarray*} C(I) \end{eqnarray*}$ der Raum der stetigen Funktionen auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} I=[0,1] \end{eqnarray*}$ mit der Norm $\begin{eqnarray*} ||f||_{\infty}:=sup_{t \in I}|f(t)| \end{eqnarray*}$ . Die Abbildung $\begin{eqnarray*} T: C(I) \to C(I) \end{eqnarray*}$ sei gegeben durch $\begin{eqnarray*} (Tf)(x)=\int_{x^2}^xf(u)du \end{eqnarray*}$ . Berechne $\begin{eqnarray*} (DT)(f) \end{eqnarray*}$ als Element von $\begin{eqnarray*} L(C(I), C(I)) \end{eqnarray*}$ .
(Dabei ist (DT)(f) die Ableitung von T im "Punkt" f und L(C(I), C(I)) der Raum der Endomorphismen auf C(I).)

Also, wie man Ableitungen von Funktionen auf Funktionenräumen bildet, habe ich nie verstanden und auch im Internet finde ich dazu keine Quellen, die das ordentlich erklären, ohne mir dabei was über Distributionen und Funktionale und komische Sachen zu erzählen, die ich nicht verstehe.

7) Bestimme das Maximum und das Minimum von $\begin{eqnarray*} x^2y+xy^2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} |x^3+y^3| \leq 1 \end{eqnarray*}$ . Für welche x, y werden sie angenommen? Verwende die Methode der Lagrange'schen Multiplikatoren.

Also, hier weiß ich nicht, wie man das mit Lagrange machen soll, weil die Nebenbedingung nicht durch eine Gleichung sondern durch eine Ungleichung gegeben ist. Vielleicht kann man vorher zeigen, dass für die Extrema in der Nebenbedingung gleich statt kleiner gleich muss? Weiß aber nicht, wie.

Mkay, ich denke, das reicht jetzt auch. Die restlichen Aufgaben will ich im Grunde genommen gar nicht verstehen.

10.06.2006, 21:13

Abakus

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RE: Klausur-Aufgaben
Für die erste Aufgabe brauchst du die Definition der Ableitung, siehe zB hier oder dein Skript.

Dann berechne $\begin{eqnarray*} T(f + h) - T(f) \end{eqnarray*}$ .

Für die zweite Aufgabe benötigst du die Kuhn-Tucker-Bedingung zusätzlich (das müsstest du dir durchlesen). Hier reicht es auch ggf. die Aufgabe mit "=" in der Nebenbedingung mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren zu lösen und für den restlichen Bereich zusätzlich die stationären Punkte zu bestimmen.

Grüße Abakus smile

10.06.2006, 21:31

trollkotze

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Noch eine Aufgabe:
8. Benutze den Satz von Taylor, um den Wert der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x, y)=log_x(y) \end{eqnarray*}$ bei x=2,01 und y=3,99 auf 3 Dezimalstellen genau zu berechnen.

Mkay. Mal sehen, ob ich das mit dem Restglied jetzt kapiert habe.
Für $\begin{eqnarray*} (x_0, y_0)=(2, 4) \end{eqnarray*}$ haben wir $\begin{eqnarray*} f(2, 4)=log_2(4)=2 \end{eqnarray*}$ .
Nach der Taylor-Formel gilt: $\begin{eqnarray*} f(x_0+x, y_0+y)=f(x_0, y_0)+\sum_{k=1}^n~\frac{1}{k!}D^kf(x_0, y_0)(x, y)^k+\frac{1}{(k+1)!}D^kf(x_0+tx, y_0+ty)(x,y)^{k+1} \end{eqnarray*}$ für ein von $\begin{eqnarray*} (x, y) \end{eqnarray*}$ abhängiges $\begin{eqnarray*} t \in [0,1] \end{eqnarray*}$ .
Das Restglied kann man in der Integralform auch schreiben als: $\begin{eqnarray*} r_k(x,y)=\frac{1}{(k+1)!}D^kf(x_0+tx, y_0+ty)(x,y)^{k+1}=\int_{0}^{1}\frac{1}{(k+1!)}D^{k+1}f(x_0+t(x-x_0), y_0+t(y-y_0))(x,y)^{k+1}dt \end{eqnarray*}$ , (hab ich mir jetzt so aus der Formel für das Taylor-Restglied im Eindimensionalen zurechtgewurschtelt, stimmt das?),
also für die Entwicklungsstelle $\begin{eqnarray*} (x_0, y_0)=(2,4) \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} r_k(x,y)=\int_{0}^{1}\frac{1}{(k+1!)}D^{k+1}f(2+t(x-2), 4+t(y-4))(x,y)^{k+1}dt \end{eqnarray*}$
Ist das richtig so weit?
Dann muss ich nur noch ein k finden, so dass $\begin{eqnarray*} r_k(2,01-2; 3,99-4)<0,001) \end{eqnarray*}$ gilt, und dafür das Taylorpolynom ausrechnen. Richtig?

10.06.2006, 22:43

trollkotze

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Okay, hier noch mal Aufgabe 4:
$\begin{eqnarray*} T: C(I) \to C(I) \end{eqnarray*}$ definiert durch: $\begin{eqnarray*} (Tf)(x)=\int_{x^2}^xf(u)^2du \end{eqnarray*}$ (hab das Quadrat oben vergessen)
Also gilt: $\begin{eqnarray*} (T(f+h)-T(f))(x)=\int_{x^2}^x(f(u)+h(u))^2du-\int_{x^2}^xf(u)^2du=\int_{x^2}^x(2f(u)h(u)+h(u)^2)du \end{eqnarray*}$
Für die Ableitung DT(f) muss gelten:
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 ~~\exists \delta>0: ||h||<\delta \Rightarrow ||T(f+h)-T(f)-DT(f)(h)||<\epsilon||h|| \end{eqnarray*}$ (So steht's im Skript.)
Also mit der Supremums-Norm:
$\begin{eqnarray*} ||h||<\delta \Rightarrow sup_{t \in I}|(T(f+h)-T(f))(t)-DT(f)(h)(t)||<\epsilon||h|| \Leftarrow\Rightarrow \sup_{t \in I}|\int_{t^2}^t(2f(u)h(u)+h(u)^2)du-DT(f)(h)(t)|<\epsilon||h|| \end{eqnarray*}$
Sieht das hübsch aus!
Also ist
Und weiter? Irgendwie werd ich da jetzt nicht draus schlau. verwirrt

11.06.2006, 11:38

Abakus

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Mit dem Quadrat sieht es zwar etwas anders aus, aber eigentlich steht die Lösung schon in deiner Gleichung drin:

Setze:

$\begin{eqnarray*} DT(f)(h) := 2 \cdot \int_{x^2}^x~f(u)h(u)~du \end{eqnarray*}$

und schätze den verbleibenden Rest ab:

$\begin{eqnarray*} ||\int_{x^2}^x~h^2(u)~du|| \le ||(x - x^2)|| \cdot ||h^2|| \le \frac{||h^2||}{4} \end{eqnarray*}$ ,

daher ist $\begin{eqnarray*} \int_{x^2}^x~h^2(u)~du = o(||h||) \end{eqnarray*}$ .

Grüße Abakus smile

11.06.2006, 12:48

trollkotze

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Oh, vielen Dank! Gott

Was hat das letzte zubedeuten? Was ist $\begin{eqnarray*} o(||h||) \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Abakus

daher ist $\begin{eqnarray*} \int_{x^2}^x~h^2(u)~du = o(||h||) \end{eqnarray*}$ .

Grüße Abakus smile

11.06.2006, 13:14

Abakus

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Zitat:

Original von trollkotze
Was hat das letzte zubedeuten? Was ist $\begin{eqnarray*} o(||h||) \end{eqnarray*}$ ?

Es entspricht deiner Aussage oben, die du mit Delta-Epsilon formuliert hast. Siehe auch hier: Landau-Symbole

Grüße Abakus smile

11.06.2006, 14:49

trollkotze

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Okay, danke.
Jetzt noch mal was zu der Taylor-Entwicklung.
Irgendwie scheint mir diese Integralform da auch nichts zu bringen, weil ich das Integral genausowenig exakt ausrechnen oder abschätzen kann wie die Standardform.
Reicht es in dem Fall, das Taylorpolynom für k=1,2,... auszurechnen, und zu gucken, ab wann es in der dritten Dezimal-Stelle keine Veränderung mehr gibt?

11.06.2006, 17:05

Abakus

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Zitat:

Original von trollkotze
Noch eine Aufgabe:
8. Benutze den Satz von Taylor, um den Wert der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x, y)=log_x(y) \end{eqnarray*}$ bei x=2,01 und y=3,99 auf 3 Dezimalstellen genau zu berechnen.

Bei der Taylor-Formel würde ich als ersten Versuch immer die Darstellung des Restglieds nach Lagrange nehmen.
Diese Aufgabe hier finde ich etwas unerquicklich, weil die partiellen Ableitungen ja log-Terme enthalten und man in einer Klausur auf die Schnelle nicht unbedingt auf eine Umgehung kommt (von daher gehe ich davon aus, dass man diese Terme genau berechnen darf).

Ich würde demnach die beiden ersten partiellen Ableitungen ausrechnen, die Werte einsetzen und hinschreiben und versuchen den Fehler mit dem Restglied abzuschätzen. Entscheidend ist hier, den Ansatz richtig hinzuschreiben, für weitere langwierige Überlegungen ist die Klausurzeit zu schade (ich gehe davon aus, dass die ersten Ableitungen bereits ausreichen, um die geforderte Genauigkeit zu bekommen).

Grüße Abakus smile

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