Rekonstruktion einer Funktionsschar

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09.09.2008, 18:10	Octav	Auf diesen Beitrag antworten »
Rekonstruktion einer Funktionsschar Hi ich habe ein problem mit einer Hausaufgabe wir sollen anscheinend eine funktionsschar rekonstruieren: Bestimmen sie alle ganzrat. Fkt a) vom grad 2 , derem graph durch $\begin{eqnarray} A(0;2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B(6:8) \end{eqnarray}$ geht und die x-Achse berührt so meine bedingen sind die beiden punkte und die nullpunkt mit dem Parameter t drin $\begin{eqnarray} P(t;0) \end{eqnarray}$ meine LGS sind I $\begin{eqnarray} 2=c \end{eqnarray}$ II $\begin{eqnarray} 8=36a+6b+2 \end{eqnarray}$ (das c schon eingesetzt ) III $\begin{eqnarray} 0=at^2+bt+2 \end{eqnarray}$ ich weiß nicht wie ich diese gleichungssysteme nach a und b lösen soll ich habe II nach b umgeformt $\begin{eqnarray} b=-6a+1 \end{eqnarray}$ und in III eingesetzt: $\begin{eqnarray} 0=at^2-6at+t+2 \end{eqnarray}$ bin ich auf dem richtigen weg?
09.09.2008, 18:30	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Funktionenschar ist nicht ganz richtig, denn es gibt nur eine Funktion, welche die Forderungen erfüllt. Die Eigenschaft mit dem Berühren der x-Achse kann man so, glaube ich, nicht so gut umsetzen. Ich würde so vorgehen: Der Graph einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades ist ja eine Parabel. Wenn er die x-Achse berühren soll, dann muss ein Punkt die Steigung 0 haben und auf der x-Achse liegen -- das kann nur der Scheitelpunkt sein, denn das ist der einzige Punkt mit der Steigung 0. Also liegt der Scheitelpunkt auf der x-Achse bzw. die y-Koordinate des Scheitelpunktes ist 0. Stelle denn die Scheitelpunktform auf, setze die y-Koordinate des Scheitelpunktes 0 und berechne dann durch Einsetzen der beiden Punkte die Funktionsvorschrift.
09.09.2008, 18:37	Octav	Auf diesen Beitrag antworten »
das klingt logisch doch in der aufgabenstellung steht geschrieben Bestimmen sie ALLE ganzrationalen Funktionen , deshalb glaube ich schon das damit eine funktionsschar gemeint ist.
09.09.2008, 18:41	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, es gibt anscheinend doch mehrere. Aber nicht eine ganze Schar, sondern nur einzelne Funktionen.
09.09.2008, 18:55	Octav	Auf diesen Beitrag antworten »
deiner meinung nach ist mir also der scheitelpunkt S(0:0) gegeben ? aber wenn man die lgs dann bildet und die variablen auflöst kommt doch nur 1 funktion ruas , oder? und wenn men S einsetzt wiederspricht sich das lgs weil es kommt das c einmal 0 ist und dass c einmal 2 ist.
09.09.2008, 19:10	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Die x-Koordinate des Scheitelpunktes ist nicht unbedingt 0, nur die y-Koordinate. Das Entscheidende ist, dass man kein lineares Gleichungssystem erhält -- deswegen gibt es mehrere Lösungen. Stelle doch mal die entsprechende Scheitelpunktform auf und setze die beiden Punkte ein.
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09.09.2008, 19:24	Octav	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe ja die funktion $\begin{eqnarray} f(x)=ax^2+bx+c \end{eqnarray}$ um nun die sscheitelpunktsform aufzustellen muss ich doch erstmal das a ausklammern aber das kann ich hier doch nicht machen oder ? ansonsten ohne a zu beachten würde ich das haben: $\begin{eqnarray} (x+\frac{b}{2})^2-\frac{b}{2}^2+c \end{eqnarray}$
09.09.2008, 19:33	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich kann man a ausklammern, ohne seinen Wert zu kennen. Deine Rechnung ist -- bis auf das fehlende a -- korrekt, allerdings wird es sehr umständlich, wenn Du mit den Ergebnissen weiterrechnest. Ich würde direkt mit der Scheitelpunktform beginnen: $\begin{eqnarray} f(x) = \alpha (x - \beta)^2 + 0 \end{eqnarray}$ Wenn Du die Scheitelpunktform hast, kannst Du doch leicht wieder auf die Normalform kommen.
09.09.2008, 19:42	Octav	Auf diesen Beitrag antworten »
also $\begin{eqnarray} 2=a(0-x_1)^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 8=a(6-x_2)^2 \end{eqnarray}$ wieso hasten du eigentlich diesen term mit beta ausgedrückt? wie soll ich weiterechnen mit dem beta ?
09.09.2008, 19:46	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Beide Gleichungen stimmen. Die linke kannst Du noch vereinfachen. Das Beta ist doch eine genauso gute Bezeichnung wie a, b, ... . Ich wollte nur deutlich machen, dass sich die Faktoren auf die Scheitelpunktform beziehen, nicht die Normalform. Aber so wie Du es aufgeschrieben hast, ist es natürlich auch OK.
09.09.2008, 19:57	Octav	Auf diesen Beitrag antworten »
und wie rechne ich jetzt weiter?^^ rechne ich jetzt das x aus oder was?
09.09.2008, 20:01	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast ja das Gleichungssystem $\begin{eqnarray} a \cdot x_1^2 = 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a(6 - x_1)^2 = 8 \end{eqnarray}$ Setze vorerst $\begin{eqnarray} x_1 \neq 0 \end{eqnarray}$ voraus, dann kannst Du die obere Gleichung nach a auflösen und diesen Wert in die untere einsetzen. Dann erhältst Du zwei (!) Werte für x1, die Du wiederum oben einsetzen kannst.
09.09.2008, 20:12	Octav	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich habe $\begin{eqnarray} a=\frac{2}{x^2} \end{eqnarray}$ in die zweite eine gesetzt weiß aber nicht wie ich das aiuflösen soll ... ich schätze bin schon müde... : $\begin{eqnarray} 8=\frac{2}{x^2}(6-x)^2 \end{eqnarray*}$
09.09.2008, 20:14	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Du müsstest an das x natürlich immer noch den Index 1 schreiben. Hm, vielleicht ist es mit beta doch übersichtlicher. Löse das $\begin{eqnarray} (6 - \beta)^2 \end{eqnarray}$ einfach nach der zweiten binomischen Formel auf und multipliziere das gesamte Ergebnis dann mit $\begin{eqnarray} \tfrac{2}{\beta^2} \end{eqnarray}$ . Bringe die Gleichung dann auf die Form x² + px + q = 0, dann kannst Du die pq-Formel anwenden.
09.09.2008, 20:37	Octav	Auf diesen Beitrag antworten »
so jetzt habe ich für $\begin{eqnarray} x_1=2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2=6 \end{eqnarray}$ und nun habe ich die punkte (2:0) und (-6:0) für die ich jeweils mit den anderen 2 punkten eine funktion rekonstruieren muss und habe am ende 2 funktionen ja?
09.09.2008, 20:43	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösung 2 ist richtig, die andere müsste aber -6 lauten. Um die zugehörigen Werte für a zu erhalten, muss Du nur noch beide Ergebnisse wieder in die obere Gleichung einsetzen. Damit ist dann alles erledigt.

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