Untersuchen sie LGS auf Lösbarkeit

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monthy Auf diesen Beitrag antworten »
Untersuchen sie LGS auf Lösbarkeit
Hallo zusammen und ein freundliches hallo Wink aus Hamm.
Bin neu hier und muss sagen euer Forum ist klasse.

Ich habe ein Problem mit einer LGS Aufgabe.

Diese lautet wie folgt:
3x1 + 2x2 + 2x3 = 0
4x1 + 6x2 + 4x3 = 1
7x1 + 8x2 + 6x3 = 1

Ich soll jetzt beweisen ob diese Aufgabe lösbar ist oder nicht.
Leider habe in der Stunde gefehlt und daher nicht mitbekommen
wie diese Aufgaben gelöst werden.

Hier und im Netz ist von dem Gaußschen verfahren die Rede. Nur wie wende ich das an.

Ich habe mir folgendes gedacht:



Nur wie geht es dann weiter?

2 Spalte -1 Spalte und 3 Spalte - 2 Spalte oder wie muss ich da ran gehen?

Wenn ihr mir helfen könntet wäre das super.

Mfg

monthy
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

du musst Nuller erzeugen, das ist das Prinzip des Gauß-Algos.

Schau mal, ob dir das weiterhilft: Gauß Algorithmus
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Was sofort ins Auge faellt, ist, dass die 3. Zeile die Summe der 1. und 2. Zeile ist. Die kannst du also schon einmal weglassen. Jetzt kann es nur noch entweder unendlich viele oder keine Loesungen geben, und da uebrigen die Zeilenvektoren nicht voneinander linear abhaengig sind, gibt es unendlich viele. Zum Beweis der Loesbarkeit musst du nur noch eine Loesung angeben.
monthy Auf diesen Beitrag antworten »

Ok.

Das die erste und zweite Zeile die dritte Zeile ergibt sehe ich jetzt auch. Freude

Nur wie kann ich da jetzt eine Lösung angeben?

Verstehe ich nicht.

Heißt das ich kann für x3 ein x-beliebige Zahl wählen oder wie soll das gehen? Oder ist x3 dann 1?

Mfg

monthy
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Geht es hier um das angeben der Lösung oder nur um das zeigen der Lösbarkeit?

Die dritte Gleichung bringt entweder eine nicht lösbare Bedingung oder sie ist schon in den beiden anderen enthalten.
Das sie hier keine Turbulenzen verursacht kannst du durch überprüfen der rechten Seite testen.
Also ist sie unnötig und fällt weg.

Danach verbleiben 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten, die beiden Gleichungen sind "linear unabhängig" (schwammig gesagt).
Daraus folgt direkt, dass sie sich nicht widersprechen können, das LGS also auf jeden Fall lösbar ist.

Und von Lösung angeben war ja nix gesagt, oder?
Wenn doch: vereinfache erst die beiden Gleichungen mit Gauß-Algo. Später kannst du dann, fast wie selbst vorgeschlagen, x3 als Parameter wählen, um alle Lösungen zu erhalten.
monthy Auf diesen Beitrag antworten »

In der Aufgabe geht es nur um zeigen der Lösbarkeit. Klar, aber trotzdem will ich ja für mich den Rechenweg haben.

Ich habe die ersten beiden Zeilen nach Gauß vereinfacht.



Einfach die erste von der zweiten abgezogen.

Dann über x3 die zweite Zeile errechnet und anschließen mit hilfe x3 und x2 die erste.

Wenn es stimmt sollte folgendes raus kommen:

X1= -0,333
X2= -0,5
X3= 1

Habe es nachgerechnet und es scheint zu stimmen.

So nun aber das nächste Problem.

Wie soll das ganze denn dann bei 4 Zeilen funktionieren?

In etwa so:

X1 + X2 - X3 = 5
* + X2 + X3 = 3
* * + X3 = 2
* * * = 2

Oder was soll man da machen?

Mfg

monthy
 
 
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Lösung, die du angibst und errechnest ist falsch.

Nimm mal die zweite Zeile:
4*x1+6*x2+4*x3=1 und setz mal deine Werte probeweise ein. Das ist nicht erfüllt.

Überhaupt ist die Zeile (0 0 0|1) falsch, das wiederum würde nämlich Nichtlösbarkeit bedeuten. Da verbleibt ja (0 0 0 | 0), was wiederum Unnötigkeit bedeutet.

Woher kommt eigentlich plötzlich die Zeile (4 2 2 | 0)?
das war doch (3 2 2|0).
monthy Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn die unterste Zeile unnötig ist, dann lasse ich die ganz weg?

Ich habe einfach die erst von der zweiten abgzogen.

Weil ja die erst plus die zweite Zeile die dritte Zeile ergibt.

Dann muss ich doch nur noch nach der Gaußschen Regel die zweite auf 0 bringen oder?

Was soll ich sonst machen?

Verstehe das immer noch nicht.

Ja, hast recht, da habe ich mich vertan:

Muss natürlich

3 2 2 0
4 6 4 1

lauten.

Aber was mache ich jetzt?

Die erste zeile +1, dann die erste von der zweiten Zeile abziehen oder
wie geht es weiter?

Dann wäre das ja:

4 3 3 1
4 6 4 1

4 3 3 1
0 3 1 0

Oder geht das anders?

Was muss ich nun wo einsetzen?

Wie kann ich als Beweis eine Lösung angeben?

Was soll man da machen?

verwirrt verwirrt
Shurakai Auf diesen Beitrag antworten »

Du darfst eine Spalte nicht mit Werten "aufaddieren"! Denn damit würdest du die Lösungsmenge verändern...

Was du hier hast, sind 2 Gleichungen mit 3 Unbekannte. Das kannst du nicht eindeutig lösen - du wirst soetwas rausbekommen wie x1 = 3/4x2 und x2 = 1/2x3 oder sowas in der Art. Auf jedenfall soetwas, wo du siehst, dass du eine Variable wählen darfst (z.B. x2) und dann sind automatisch x1 und x3 eindeutig bestimmt - aber x2 ist halt frei wählbar.

Was du machen darfst ist:

- Zeilen vertauschen
- Zeilen mit einem Skalar multiplizieren
- Zeilen zueinander addieren (also auch subtrahieren, logisch)

Du musst also jetzt erstmal in den Sauren Apfel beissen und zusehen dass du Nullen erzeugst... Mithilfe der o.g. Operationen smile
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

übrigens hat das schon seinen Sinn, dass hier nicht nach einer expliziten Lösungsmenge gefragt ist.

Ich gebe dir hier mal ein Kontrollergebnis an, habe es mal an der dritten Gleichung "erprobt" und die hat's Stand gehalten.
Ich habe dabei x3=t gesetzt.
x2=(3-4t)/10
x1=(-2t-1)/5

also keine schönen Werte.


Das du immer noch nicht weißt, wie der Gaußalgo geht, lässt mich vermuten, du hast dir meinen Link oben nicht angeschaut. unglücklich
monthy Auf diesen Beitrag antworten »

Doch verstanden habe ich das.

Bei einfachen aufgaben wie in Beispieln im Inet geht das auch.

Da ist es aber meistens offensichtlich.

Bei der von mir angegeben Aufgabe fällt ja die letzte Zeile weg.

Kann ich in dem Fall nicht auch die ersten beiden Zeilen gleich 0 setzen und dann gegeneinander aufrechnen? Wobei die erste Zeile ja quasi schon fertig ist.

Sollte doch auch gehen oder?

verwirrt
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von monthy
Kann ich in dem Fall nicht auch die ersten beiden Zeilen gleich 0 setzen und dann gegeneinander aufrechnen?

Das ersetzen eines Wertes (hier 1 durch 0 in zwei Fällen) verändert die Lösungsmenge eines LGS. Du hast nach dem Wegfallen der dritten Zeile Folgendes:



Nach Gauß multiplizierst du jetzt die erste Zeile mit 4/3 und ziehst sie von der zweiten ab.



Damit bist du hier mit der Elimination schon fertig. Jetzt setzst du und erhältst damit



und damit

.

Fertig.
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