Aufgabe zur Binominalverteilung

11.06.2006, 16:31

Bebbo

Aufgabe zur Binominalverteilung

Hallo Forum!
Ich habe ein Problem mit einer Aufgabe zur Binominalverteilung.
Der Lösungsweg ist mir klar, nur die Lösung ergibt keinen Sinn.

Hier erstmal die Aufgabe:
In einer Urne sind 4 schwarze und einige weiße Kugeln.
Wie groß kann deren Anzahl sein, damit bei zweimaligem Ziehen, ohne zurücklegen die Wahrscheinlichkeit für 2 verschiedene Farben 8/15 beträgt?

Mein Lösungsweg:
n = 2
k = 1 (Erfolg dass genau eine schwarze Kugel gezogen wird)
p = 8/15

Die allgemeine Formel lautet:

$\begin{eqnarray*} p(k) = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

Die Werte weden nun eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{8}{15} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot (\frac{4}{x} )^{1} \cdot (\frac{x-4}{x} )^{1} \end{eqnarray*}$

Die Brüche werden multipliziert:

$\begin{eqnarray*} \frac{8}{15} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \frac{4x-16}{x^2} \end{eqnarray*}$

Nun wird mit "2 über 1" (=2) dividiert:

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{15} = \frac{4x-16}{x^2} \end{eqnarray*}$

Nun wird x^2 auf eine Seite gebracht:

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{15} x^2 = 4x-16 \end{eqnarray*}$

Und der Rest wird ebenfalls rübergebracht:

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{15} x^2 - 4x + 16 = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt geb ich die Werte ins als Polynominal-Gleichung ein und erhalte für x zwei irrationale Werte.

Es wäre sehr nett von euch, wenn ihr mir (neben einem eventuellem anderem Lösungsweg) verraten könntet, was ich falsch gemacht habe.
- Vielen Dank

11.06.2006, 16:49

bil

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hi...
die binomialverteilung gilt für das modell "mit zurücklegen", hier ist aber ohne zurücklegen. deshalb wäre wenn die hypergeometrische verteilung zu verwenden.
aber bei zweimaligen ziehen, kann man es sich auch so überlegen.
2 verschiedene farben bedeutet folgende ziehmöglichkeiten:

(s,w) oder (w,s)

und da beide ziehungen erlaubt sind, muss man die wahrscheinlichkeit von beiden addieren.

reicht das schon?

gruss bil

11.06.2006, 17:16

Bebbo

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Danke für den Tipp!
Das wäre der neue Lösungsweg:

$\begin{eqnarray*} P(s,w) = \frac{4}{x} \cdot \frac{x-4}{x-1} = \frac{4x-16}{x^2-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(w,s) = \frac{x-4}{x} \cdot \frac{4}{x-1} = \frac{4x-16}{x^2-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P = P(s,w) + P(w,s) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P = \frac{4x-16}{x^2-x} + \frac{4x-16}{x^2-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P = \frac{8x-32}{x^2-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{8}{15} = \frac{8x-32}{x^2-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{8}{15} x^2 - \frac{8}{15} x = 8x-32 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{8}{15} x^2 - \frac{128}{15} x + 32 = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt erhalte ich 2 natürliche Zahlen (10, 6).
Vielen Dank!!

11.06.2006, 17:35

bil

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Zitat:

Original von Bebbo
Jetzt erhalte ich 2 natürliche Zahlen (10, 6).
Vielen Dank!!

hab mir jetzt deine rechnung nicht wirklich angeschaut, aber zur kontrolle kannst du ja einfach mal die werte einsetzen und nachrechnen ob das richtige rauskommt Augenzwinkern

du hast ja zwei fälle:

4 schwarze, 10 weisse

und

4 schwarze, 6 weisse

gruss bil

edit: hab jetzt auch mal nachgerechnet, deine rechnung ist falsch...
tipp:
insgesammt gibt es x+4 elemente.

gruss bil

11.06.2006, 17:41

Pr0

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Zitat:

Original von bil

du hast ja zwei fälle:

4 schwarze, 10 weisse

und

4 schwarze, 6 weisse

gruss bil

4+10 und 4+6?

Denke du meinst jeweils 4+6, oder?

11.06.2006, 17:45

bil

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Zitat:

Original von Pr0
4+10 und 4+6?

Denke du meinst jeweils 4+6, oder?

nein, meinte schon 4+10 und 4+6. er sollte es zur kontrolle testen, aber 4+10 ist falsch, siehe mein edit Augenzwinkern