Eigenwerte & Eigenvektoren einer allgemeinen, symmetrischen 2x2 Matrix

11.06.2006, 16:45

rainbow1

Eigenwerte & Eigenvektoren einer allgemeinen, symmetrischen 2x2 Matrix

Hallo!
Habe hier gerade etwas Probleme mit einer Aufgabe und hoffe, ihr könnt mir helfen.

Aufgabe lautet wie folgt:
" Sei A eine symmetrische 2x2 Matrix

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit b ungleich 0. Zeigen Sie (durch Berechnung), dass
a) die Eigenwerte von A reell sind
b) die Eigenvektoren senkrecht aufeinander stehen. "

Also....
Hab erst mal $\begin{eqnarray*} A - \lambda E \end{eqnarray*}$ ausgerechnet, dann die Determinante davon und dann $\begin{eqnarray*} \lambda_{1/2} \end{eqnarray*}$ durch pq-Formel bestimmt, da komm ich dann auf so etwas Nettes wie

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1/2} = \frac {a+c}{2} +- \sqrt { \frac {(a+c)^2}{4} - ac + b^2} \end{eqnarray*}$

Stimmt das denn??
Denn irgendwie komme ich da jetzt nicht so recht weiter. Die Eigenwerte sind reell, das heißt ja, dass die Diskriminante > oder = 0 sein muss. Ich weiß nur nicht, wie ich das nun zeige, ich hab angefangen mit einer Fallunterscheidung (also wenn a = 0 und c= 0, folgt daraus, $\begin{eqnarray*} D= b^2 \end{eqnarray*}$ , das wiederum ist > 0, wenn a = 0 und c< 0 [...] ),da muss ich aber 9 Fälle unterscheiden und ich glaube nicht, dass das so gedacht war.

Von den Dingern nun die Eigenvektoren zu bestimmen ist auch keine angenehme Sache....

wär lieb, wenn mir jmd auf die Sprünge hilft

11.06.2006, 17:53

Abakus

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RE: Eigenwerte & Eigenvektoren einer allgemeinen, symmetrischen 2x2 Matrix
Die EW stimmen. Ferner ist:

$\begin{eqnarray*} \frac {(a+c)^2}{4} - ac = \frac{(a-c)^2}{4} \end{eqnarray*}$

Daraus solltest du ersehen, dass die EW reell sind.

Die EV musst du nach Aufgabenstellung schon berechnen.

Grüße Abakus smile

11.06.2006, 20:48

rainbow1

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RE: Eigenwerte & Eigenvektoren einer allgemeinen, symmetrischen 2x2 Matrix

Zitat:

Original von Abakus
Die EW stimmen. Ferner ist:

$\begin{eqnarray*} \frac {(a+c)^2}{4} - ac = \frac{(a-c)^2}{4} \end{eqnarray*}$

Daraus solltest du ersehen, dass die EW reell sind.

Args.. ja.. das hab ich übersehen... macht das Gnaze natürlich einfacher... , reicht das dann, wenn das da so steht und ich dann hinschreibe, dass Quadrate immer positiv sind und die Diskriminante somit auch positiv ist..?

Zitat:

Die EV musst du nach Aufgabenstellung schon berechnen.

War etwas mühselig, aber hab es hinbekommen und das Skalarprodukt ergibt nachher 0 .. smile

Vielen Dank!

11.06.2006, 21:02

Abakus

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RE: Eigenwerte & Eigenvektoren einer allgemeinen, symmetrischen 2x2 Matrix

Zitat:

Original von rainbow1
... reicht das dann, wenn das da so steht und ich dann hinschreibe, dass Quadrate immer positiv sind und die Diskriminante somit auch positiv ist..?

Das reicht. Wegen der Voraussetzung $\begin{eqnarray*} b \ne 0 \end{eqnarray*}$ ist die Diskriminante echt positiv und damit sind beide EW verschieden.

Grüße Abakus smile

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