Exponentialfunktion: Asymptoten

09.09.2008, 21:48

eierkopf1

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Exponentialfunktion: Asymptoten

Hallo!

Ich kenne mich mit dem bestimmen von Asymptoten bzw. Grenzwert berechnen nicht wirklich aus.

"Bestimme die Asymptote(n) von"

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

Ich habe es so versucht:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^2}{e^{x}} \end{eqnarray*}$

Ich untersuche für beide Funktionen das Verhalten für $\begin{eqnarray*} x \to -\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \to +\infty \end{eqnarray*}$ :

1. Funktion
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +\infty} x^2=+\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} (-x)^2=\lim_{x \to +\infty} x^2=+\infty \end{eqnarray*}$

Keine Asymptote

2. Funktion
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +\infty} e^x=+\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} e^x=\lim_{x \to +\infty} e^{-x}=\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^{x}}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a: y=0 \end{eqnarray*}$

Für die Gesamtfunktion ergibt sich dann:
$\begin{eqnarray*} a_1: y=0 \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

mfg

PS: Zeichnerisch sehe ich das natürlich und auch generell weiß ich, dass die allgemeine Exponentialfunktion bei y=0 die Asymptote hat.

09.09.2008, 21:51

tigerbine

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RE: Exponentialfunktion: Asymptoten
Nicht trennen, sondern schauen, welche Funktion dominiert.

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^2}{e^x} \end{eqnarray*}$

Deine Argumentation ist nicht zulässig. Verleiche

$\begin{eqnarray*} g(x)=x^2 \cdot x^{-1} \end{eqnarray*}$

09.09.2008, 21:55

Zizou66

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Ich finde die Begründung, wieso die Asymptote y=0 sein soll unvollständig.
Zum Beispiel gibt es auch eine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^2}{x} \end{eqnarray*}$ , bei der die Asymptote des Zählers $\begin{eqnarray*} y=\infty \end{eqnarray*}$ und die von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ist y=0. Allerdings ist der Grenzwert der gesamten Funktion $\begin{eqnarray*} y=\infty \end{eqnarray*}$

Edit: Schade, gleiche Idee...aber zu langsam.

09.09.2008, 21:57

eierkopf1

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Danke für die Antwort!

Wie schaue ich, welche dominiert?

@Vergleiche: Da würde ich aber auch zuerst die Division berechnen und $\begin{eqnarray*} f(x) = x \end{eqnarray*}$ schreiben verwirrt

verwirrt

mfg

09.09.2008, 22:02

Vieta

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Du kannst dir zum Beispiel die Graphen der beiden Funktionen anschauen und gucken, welcher von beiden letztendlich schneller steigt

09.09.2008, 22:06

eierkopf1

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Schneller steigen tut $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ . Aber was sagt mir das?

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09.09.2008, 22:08

Zizou66

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Das ist nicht richtig.

Die Ableitung von e^x ist immer größer als die von x^2.

09.09.2008, 22:11

eierkopf1

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OK. Aber wie bestimme ich das rechnerisch?

09.09.2008, 22:12

tigerbine

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Nein, dividieren ist da nicht erlaubt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Kann es auch allgemein schreiben

$\begin{eqnarray*} h(x)=\frac{f(x)}{g(x)} \end{eqnarray*}$

Und dann eben die entsprechenden Grenzwerte. Es gibt ja so einen Satz, vielleicht auch irgendwo in deinem Buch "die Exponentialfuntkion wächst schneller als jede Potenz". Daher gewinnt sie solche "Duelle.

Warum ist das so... Wie sieht die e-Funktion denn aus?

http://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion#Definition, schau mal unter Potenzreihe.

09.09.2008, 22:27

eierkopf1

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OK. Ich weiß jetzt, dass die Exponentialfunktion schneller steigt als Potenzfunktion. Aber was sagt das über die Asymptoten aus?
Dass die Asymptoten der Exponentialfunktion auch die Aysmptoten der Gesamtfunktion sind?

09.09.2008, 22:35

tigerbine

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naja, immer kann ich so nicht sagen. Kommt auf die Zusammensetzung der Funktion f an. Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.09.2008, 22:38

eierkopf1

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OK. Auf was muss man da achten?

09.09.2008, 22:40

tigerbine

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Kann doch jetzt ein wildes Konstrukt auf Funktionen sein. Daher kann ich dir keine Pauschale Antwort geben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.09.2008, 22:54

eierkopf1

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OK!
Aber auf diese Beispiel bezogen kann man sagen, dass die Exponentialfunktion die dominante Funktion ist, weil sie schneller steigt, und deswegen "ihre" Asymptoten auch für die Gesamtfunktion gelten. Stimmts?

09.09.2008, 22:56

tigerbine

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Augenzwinkern

09.09.2008, 22:59

eierkopf1

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Wie beweise ich das jetzt rechnerisch?

mfg

09.09.2008, 23:11

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^2}{e^x} \end{eqnarray*}$

Es muss natürlich bekannt sein, dass für x gegen +oo gilt:

$\begin{eqnarray*} x^2 \to \infty,~e^x \to \infty, x \to \infty \end{eqnarray*}$

Du könntest hier ja z.B. L'Hospital 2x anwenden.

09.09.2008, 23:20

Airblader

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Edit: Ist zurückgenommen ..

air

10.09.2008, 08:05

eierkopf1

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OK. Dann fange ich mal so an:

Ich versuche es mit $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x}=\frac{+\infty}{0} \end{eqnarray*}$

und mit $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{e^x}=\frac{+\infty}{+\infty} \end{eqnarray*}$

Stimmt das bis jetzt?

10.09.2008, 08:27

klarsoweit

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Beides Unfug.

10.09.2008, 08:40

eierkopf1

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Das dachte ich mir traurig

traurig

So?
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x}=\frac{+\infty}{+\infty} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{e^x}=\frac{+\infty}{0} \end{eqnarray*}$

Also betrachte ich den Nenner als eine Funktion, die nicht im Nenner steht. zB Ich betrachte $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^x} \end{eqnarray*}$ , oder?

mfg

10.09.2008, 08:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von eierkopf1
Also betrachte ich den Nenner als eine Funktion, die nicht im Nenner steht.

Ja. Offensichtlich hast du Zähler- und Nennerfunktion separat betrachtet und die jeweiligen Grenzwerte hingeschrieben. Wobei ich die Schreibweise mit unendlich und Null im Nenner nicht gerne sehe.

10.09.2008, 08:55

eierkopf1

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OK. Super

smile

Aber wie schreibe ich den Nenner 100% richtig an?

mfg

10.09.2008, 09:09

klarsoweit

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Das ist letztlich eine Vereinbarungssache. Wenn mit dem Bruch kein Zahlenwert, sondern lediglich der Typ des Grenzwerts ausgedrückt werden soll, dann geht das in Ordnung. Ich würde die Schreibweise

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{e^x} = Typ(\frac{+\infty}{0}) \end{eqnarray*}$

bevorzugen, werde mich aber unter den Mathematikern damit wohl nicht durchsetzen können. smile

smile

10.09.2008, 09:24

eierkopf1

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Danke für die Antwort!

Die Schreibweise mit dem Typ (kannte ich bis jetzt noch nicht) finde ich eigentlich viel besser bzw. man sieht auf den ersten Blick, dass es kein Zahlenwert ist und verwirrt mich dann auch umso weniger. Freude

Freude

Dh, der zweite Fall: lautet dann so:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x}=Typ \left( \frac{+\infty}{+\infty} \right) \end{eqnarray*}$

Darf ich jetzt für beide Fälle die Regeln von L'Hospital anwenden? Eigentlich sind doch nur die Typen unbestimmte Ausdrücke:

$\begin{eqnarray*} Typ \left( \frac{+\infty}{+\infty} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Typ \left( \frac{-\infty}{-\infty} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Typ \left(\frac{0}{0}\right) \end{eqnarray*}$

Oder?

Damit darf ich die Regel von L'Hospital auch nur darauf anwenden:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x}=Typ \left( \frac{+\infty}{+\infty} \right) \end{eqnarray*}$

oder?

10.09.2008, 09:38

klarsoweit

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Ja. Im übrigen geht l'Hospital auch beim $\begin{eqnarray*} Typ \left( \frac{+\infty}{-\infty} \right) \end{eqnarray*}$ .

Und die Schreibweise mit dem "Typ" habe ich gerade erfunden. Deswegen kannst du die natürlich nicht kennen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.09.2008, 09:57

eierkopf1

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Auch beim Typ $\begin{eqnarray*} \frac{\pm \infty}{\pm \infty} \end{eqnarray*}$ ?

Zurück zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x}=Typ \left( \frac{+\infty}{+\infty} \right) \end{eqnarray*}$

Diesen soll ich jetzt ableiten:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{e^x}=Typ \left( \frac{+\infty}{+\infty}\right) \end{eqnarray*}$

Nochmal L'Hospital:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x}=Typ \left( \frac{2}{+\infty}\right) \end{eqnarray*}$

Stimmt das? Aber was ist dann meine Asymptote?

mfg

10.09.2008, 10:30

klarsoweit

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Zitat:

Original von eierkopf1
Auch beim Typ $\begin{eqnarray*} \frac{\pm \infty}{\pm \infty} \end{eqnarray*}$ ?

Ja. Das Vorzeichen ist jeweils unerheblich.

Zitat:

Original von eierkopf1
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x} \end{eqnarray*}$

Hier gibt es eine konkrete reelle Zahl als Grenzwert. smile

smile

10.09.2008, 10:35

eierkopf1

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OK

Das ist doch eine Nullfolge.
Deswegen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x}=0 \end{eqnarray*}$

Dh $\begin{eqnarray*} a_1: y=0 \end{eqnarray*}$

Oder?

mfg

10.09.2008, 10:58

klarsoweit

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Zitat:

Original von eierkopf1
Dh $\begin{eqnarray*} a_1: y=0 \end{eqnarray*}$

Was soll mir das sagen? Also die Funktoin geht gegen Null und damit ist die x-Achse eine Asymptote.

10.09.2008, 11:28

eierkopf1

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Genau und die Geradengleichung der x-Achse ist $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ . Somit ist die Gleichung der Asymptote $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ .

Was ist mit dem anderen Fall?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{e^x} = Typ(\frac{+\infty}{0}) \end{eqnarray*}$

Das kann ich ja nicht mit der Regel von L'Hospital lösen.

mfg

10.09.2008, 11:41

klarsoweit

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Für x < -1 ist $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{e^x} > \frac{1}{e^x} > 0 \end{eqnarray*}$ .

Da der Nenner gegen Null konvergiert, geht der Bruch gegen plus unendlich.

10.09.2008, 12:02

eierkopf1

Auf diesen Beitrag antworten »

Dh, wenn ich für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ negative Werte einsetze, sehe ich, dass der Funktionswert immer mehr steigt und damit gegen $\begin{eqnarray*} + \infty \end{eqnarray*}$ geht.

Könnte man es auch so anschreiben?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{e^x}=\lim_{x \to -\infty} \frac{(-\infty)^2}{e^{-\infty}}= \lim_{x \to -\infty} (-\infty)^2 \cdot e^{+\infty}=Typ(+\infty) \end{eqnarray*}$

Oder wie bewiese ich das rechnerisch bzw. schreibe es formal korrekt an?

mfg

10.09.2008, 12:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von eierkopf1
Könnte man es auch so anschreiben?

Ich würde nur $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{e^x} = +\infty \end{eqnarray*}$ gelten lassen. Das dazwischen nicht. Mit unendlich kann man eben nicht rechnen. Die Schreibweise mit dem "Typ" hatte ich eigentlich nur im Zusammenhang mit l'Hospital gesehen, um damit auszudrücken, ob da ein Fall vorliegt, auf den l'Hospital anwendbar ist.

Zitat:

Original von eierkopf1
Oder wie bewiese ich das rechnerisch bzw. schreibe es formal korrekt an?

Im Prinzip so, wie ich es in meinem vorigen Beitrag angedeutet habe.

10.09.2008, 12:49

eierkopf1

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. das mit dem "Nicht-rechnen-Können" war mir irgendwie klar Big Laugh

Big Laugh

Dh, dass ich $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ einsetze und damit beweise, dass es größer Null ist und dann könnte ich eigentlich noch $\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$ einsetzen, damit ich weiß, dass es steigt. oder?

10.09.2008, 13:39

klarsoweit

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Nein, so einfach ist das nun auch wieder nicht. Das mit x < -1 habe ich ins Spiel gebracht, damit ich die Abschätzung $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{e^x} > \frac{1}{e^x} > 0 \end{eqnarray*}$ machen kann. Da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^x} \end{eqnarray*}$ für x gegen minus unendlich nach plus unendlich divergiert, divergiert erst recht $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{e^x} \end{eqnarray*}$ nach plus unendlich.

Vielleicht solltest du dir nochmal die zugehörige Definition genauer anschauen:

Eine Funktion f diviergiert für x gegen minus unendlich nach plus unendlich, genau dann, wenn gilt:

Für alle M gibt es ein x_0, so daß $\begin{eqnarray*} f(x) > M \end{eqnarray*}$ ist für alle x < x_0.

Man schreibt dann $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty}~f(x) = + \infty \end{eqnarray*}$

12.09.2008, 19:04

eierkopf1

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Zitat:

Original von klarsoweit
Eine Funktion f diviergiert für x gegen minus unendlich nach plus unendlich, genau dann, wenn gilt:
Für alle M gibt es ein x_0, so daß $\begin{eqnarray*} f(x) > M \end{eqnarray*}$ ist für alle x < x_0.

Das verstehe ich nicht. Was ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ?
Was ist $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ?

13.09.2008, 12:02

eierkopf1

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Kann mir jemand das erklären?

13.09.2008, 12:43

klarsoweit

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M steht für eine beliebige reelle Zahl. Die Definition sagt doch nichts anderes aus, daß die Funktion irgendwann jede beliebige Schranke M dauerhaft übersteigt.

13.09.2008, 14:41

eierkopf1

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OK. Ich glaube ich habs verstanden.

Eine andere Frage:

Was ist bei?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} \frac{\ln x}{x}=\frac{nicht ~def.}{-\infty} \end{eqnarray*}$

mfg

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