Vektorraum aus trigonometrischen Funktionen

11.06.2006, 17:19	Gaussian	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum aus trigonometrischen Funktionen Hallo! Ich habe eine kleine Frage zu folgender Fragestellung: http://img145.imageshack.us/img145/5817/bild00013uf.jpg Man kann hier ja relativ leicht zeigen, dass z.B. $\begin{eqnarray} \cos^2(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cos(2x) \end{eqnarray}$ von den anderen linear abhängig sind, wenn ich also keine sin-cos-Formel vergessen habe, müsste die Dimension $\begin{eqnarray} m=4 \end{eqnarray}$ sein. Aber wie zeige ich nun die Vollständigkeit der Basis bzw. ihre lineare Unabhängigkeit? Hat da jemand eine Idee?
11.06.2006, 19:54	quarague	Auf diesen Beitrag antworten »
du verwendest ein Skalarprodukt auf dem Vektorraum aller stetigen Funktionen auf dem Intervall [0,2Pi], das Standardskalarprodukt auf diesem Raum ist $\begin{eqnarray} \langle f, g \rangle =\int_0^{2\pi}f(t)g(t)dt \end{eqnarray}$ damit kannst du deine Basis zum Beispiel mit Gram Schmidt orthogonalisieren. 4 paarweise orthogonale Vektoren spannen einen 4-dim VR auf. Wenn du mit deinen Basisvektoren die 6 erzeugenden Funktionen darstellen kannst, kannst du auch den erzeugten VR darstellen, dann ist deine Basis also vollständig.
11.06.2006, 21:16	Gaussian	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, danke! Das klingt plausibel. Aber müssen die Basiselemente überhaupt orthogonal sein? Kann ich nicht einfach die 4 hier nehmen und irgendwie zeigen, dass ich die anderen damit darstellen kann und sie selbst linear unabhängig sind? Das mit dem Gram Schmidt habe ich ausprobiert, aber wenn ich beispielsweise die 1 als erstes (orthogonales) Element hernehme und dann als zweites den $\begin{eqnarray} \sin(x) \end{eqnarray}$ , dann kommt als zweites "orthogonales" Element wieder eine 1 raus?!
12.06.2006, 22:42	quarague	Auf diesen Beitrag antworten »
also beim orthogonalisieren hast du dich irgendwo verrrechnet. f(t)=1 und g(t)=sin(t) sind orthogonal denn $\begin{eqnarray} \int_0^{2 \pi}f(t)g(t)dt=\int_0^{2 \pi}1sin(t)dt=0 \end{eqnarray}$ Du musst die Vektoren nicht unbedingt orthogonalisieren, das ist nur dsa erste, was mir eingefallen ist, um lineare Unabhängigkeit zu zeigen. Alternativ könnstest du zum Beispiel auch eine allgemeine Linearkombination der Basisvektoren ansetzen. Sagen wir x=a1+bsin(t)+csin²(t)+dsin(2t) mit a,b,c,d rellen Zahlen. Jetzt muss man zeigen, das x=0 nur dann gelten kann, wenn a=b=c=d=0. Dann verwendest du, das x=0 genau dann wenn \|x\|=<x,x>=0 und rechnest das Integral aus. Dabei fallen alle trigonometrischen Funktionen raus und du erhälst einen quadratischen Term in a, b, c, d. Wenn du jetzt zeigen kannst, das der nur 0 ist, wenn a=b=c=d=0, bist du auch fertig. Ob das einfacher ist, weiss ich auch nicht.
13.06.2006, 17:29	Gaussian	Auf diesen Beitrag antworten »
Joah, danke! So hab ichs dann letztendlich auch gemacht...mal schauen, obs stimmt..

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