fortgeschrittene Extremwertaufgabe

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Neuling Auf diesen Beitrag antworten »
fortgeschrittene Extremwertaufgabe
hallo an alle

heute meinte unser Lehrer,dass die folgende Aufgabe eine fortgeschrittene Extremwertaufgabe sei,die ich vergeblich versuche zu lösen:

Ein Rechteck ABCD ist 12 cm land und 8 cm breit. M sei die Mitte von BC. Dem Rechteck soll ein Parallelogramm so einbeschrieben werden, dass zwei Seiten zu DM parallel sind und der Flächeninhalt möglichst groß ist.

Als Ansatz habe ich bisher leider noch nicht viel,nur die Strecke DM,die man ja mit dem Satz des Pythagoras berechnen kann.

kann mir da jemand weiterhelfen?
Guevara Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde Sagen Das Paralellogramm hat einen Flächenihalt von 48cm².
 
 
koRn Auf diesen Beitrag antworten »

Um das Parallelogramm zu bestimmen habe ich eine Grafik erstellt ;-)

Dazu noch ein paar Parameter .

So , jetzt mal der Hintergrund :

Die Dreiecke ( grün/rot ) , die diagonal zueinander stehen, sind äquivalent.
Ziel ist es P bzw. die Strecke X herauszubekommen , um daovn auf den Flächeninhalt zu schließen.


Fläche des Rechtecks:



abzüglich der Dreiecke


Bedingungen :





Daraus folgt :













Danach muss einem klar werden , wie wir mit Hilfe der Variablen usw. auf den Punkt kommen . Man erkennt in der Skizze mehrere Stufendreiecke . Mit Hilfe des unteren Dreiecks ( rot) , kann man die Winkel ermitteln . Dann geht man ins obere Dreieck und nimmt den tan um auf die Strecke a zu kommen im Verhältnis zu x.














Jetzt hast du eine Verbindung zwischen den Variablen x|y und a|b und kannst nach x auflösen .









Ergebnis:




max vorhanden











Der untere Punkt vom Parallelogramm muss bei P(8/3) vorliegen und dann ist der Flächeninhalt am größten ;-)
koRn Auf diesen Beitrag antworten »

Den Flächeninhalt kannst du ja analog davon ableiten ;-)
koRn Auf diesen Beitrag antworten »

scheiße ... die ganze Rechnung um sonst traurig Hab mir die Aufgabenstellung nicht genau durchgelesen . Hab aber jetzt leider auch keine Zeit mehr neuanzufangen . Dafür hast du aber schonmal den Ansatz ;-)
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Der Winkel CDM sei a, die Fläche des Parallelogramm
F = (Grundlinie * Höhe) und X eine Teilstrecke von AD,
beginnend bei A dann gilt folgende Beziehung:


Grundlinie = X*sin(a)*k
Höhe = DA*cos(a) - x*cos(a) =(DA - X)*cos(a)

F= X*sin(a)*k *(DA - X)*cos(a)

F* = X*(DA - X) .... die 3 weiteren Faktoren fallen wg. Invarianz raus
F*' = -2X+DA
...
mit Lösung X = DA/2


um sicherzustellen, dass dies auch eine echte Lösung ist, ist nur
noch zu prüfen, ob die Parallele zu DM durch die Mitte von AD
auch innerhalb von AB die Gerade AB schneidet.
Offensichtlich ist dies genau der Fall.

Wäre dem nicht so, (z.B. M dichter an C) so wäre das maximal
mögliche Parallelogramm gegeben durch die Parallele zu DM
durch den Punkt B


smile
grybl Auf diesen Beitrag antworten »
RE: fortgeschrittene Extremwertaufgabe
Habe ich einen Denkfehler verwirrt oder geht das nicht einfacher mit Hilfe des Strahlensatzes?

2 Seiten sind ja parallel zu DM, daher habe ich 2 ähnliche Dreiecke:
  1. ADM
  2. APQ (AP=x; AQ = y)


Daher liefert mir der Strahlensatz:
4:y=12:x

z.B. x ausdrücken und in Hauptbedingung einsetzen

Wink
Neuling Auf diesen Beitrag antworten »

also ich habe das mal nach y aufgelöst und zwar kommt dann folgendes raus: y=1/3x

aber die Hauptbedingung ist doch die Fläche des Parallelogramm oder?
Also F=g*h

kann man doch gar nicht einsetzen
derHund Auf diesen Beitrag antworten »

da du jetzt y in x ausdrücken kannst, kannst du wunderbar zwei vektoren aufstellen, die das parallelogramm aufspannen ... und per vektor-produkt die fläche in abhängigkeit von x errechnen, ableiten, ...
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab das sehr umständlich mit Lagrange-Faktoren gemacht. Aber irgendwie konnte ich das nicht anders modellieren als als eine Optimierungsaufgabe mit Nebenbedingungen. Mit Schlupfvariablen und allem drum und dran...
In meiner Lösung (die ziemlich wahrscheinlich richtig ist Augenzwinkern ) hat die lange Seite (die längs DM) eine Länge von und die kurze Seite eine von . Der maximale Flächeninhalt ist 54. Das Rechteck fällt dabei übrigens mit dem kleinsten Rechteck zusammen, welches das Parallelogramm umfasst, d.h. alle Ecken des Parallelogramms liegen auf den Seiten des Rechtecks.
grybl Auf diesen Beitrag antworten »
RE: fortgeschrittene Extremwertaufgabe
Wenn du die Fläche mit 96 - (12-x)(8-y) - x.y (Rechteck - 4 Dreiecke) berechnest, gehts doch oder?

Wink
derHund Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich hab das sehr umständlich mit Lagrange-Faktoren gemacht.
ich hab keine 5 min gebrauchst Augenzwinkern und war zwischendurch sogar nochmal kaffee holen Augenzwinkern
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

@WebFritzi

deine Lösung -wenn ich sie denn richtig verstanden habe- ist
unmöglich .... Habe das gerade kontrolliert, ein solches Gebilde
ist nicht möglich innerhalb des geg. Rechtecks und den vorg.
Bedingungen.


Meine Lösung sagt aus, dass das Resultat für MC >= BC/2
STETS die Parallele zu DM durch die MITTE von AD ist.
Der Rest ergibt sich dann von selbst.
(in diesem Falle hier ergibt das F=48 )

Im Falle MC < BC/2 ist es die Parallele zu DM durch B.


Dabei habe ich im Ansatz NICHT nach Parallelogrammen gesucht,
sondern nach Rechtecken


smile
derHund Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Habe das gerade kontrolliert, ein solches Gebilde
ist nicht möglich innerhalb des geg. Rechtecks und den vorg.
Bedingungen.

na sicher ist solch ein gebilde möglich, mit dem angegebenen seitenlänge.

Zitat:
(in diesem Falle hier ergibt das F=48 )

in WebFritzis Falle erhilte man A = 54.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von derHund
ich hab keine 5 min gebrauchst Augenzwinkern und war zwischendurch sogar nochmal kaffee holen Augenzwinkern

Dann erklär nochmal bitte, wie du das gemacht hast. Und bitte erkläre auch deine Operationssymbole (Was ist x.y??).
grybl Auf diesen Beitrag antworten »
RE: fortgeschrittene Extremwertaufgabe
x.y ist x mal y! geschockt
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von derHund
Zitat:
Habe das gerade kontrolliert, ein solches Gebilde
ist nicht möglich innerhalb des geg. Rechtecks und den vorg.
Bedingungen.

na sicher ist solch ein gebilde möglich, mit dem angegebenen seitenlänge.

Zitat:
(in diesem Falle hier ergibt das F=48 )

in WebFritzis Falle erhilte man A = 54.



es ist NICHT möglich.


Damit ein solches Ding diese Fläche hat müsste es zu der (ja
wohl nur auf DM möglichen liegenden) längeren Seite von
10*sqrt(30), eine zugehörige Höhe der Größe von (etwa)
sqrt(34) haben.

Diese Höhe jedoch impliziert ZWINGEND eine zweite zur DM-Seite
parallele Seite mit maximal möglicher Seitenlänge von knapp 6 ....


Ein Widerspruch zu der Aussage dass es sich dabei um ein
Parallelogramm handeln solle, denn dann müsste diese Seite
ebenfalls von der Länge 10*sqrt(30) sein


wenn du unbedingt die Rechnung brauchst, so kann ich es dir
auch vorrechnen, denke jedoch das ist NICHT nötig.
Die Unmöglichkeit dieses Gebildes liegt dermaßen extrem
daneben, dass es Rechnerei dazu eigentlich NICHT bedarf.


smile


auch im Falle vertauschter Seitenrollen des Ausgangsrechtecks
ist es nicht möglich, auch hier ergibt sich F zu maximal 48
derHund Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die Unmöglichkeit dieses Gebildes liegt dermaßen extrem
daneben, dass es Rechnerei dazu eigentlich NICHT bedarf.

dann sag mir was falsch ist ...

A kommt in den ursprung, P1 ist der eckpunkt des parallelogramms, der auf AB liegt, P2 auf AD, P3 auf BC. x ist AP1, y ist AP2. wir wissen: y=1/3x. wir haben







als formel für die fläche ergibt sich

A(x) = 12x - 2/3x^2

Ableiten, ... wir erhalten für x=9 ein maximum ...





somit a = 3*sqrt(10), b = sqrt(34)
A = 54

:dontknow:
grybl Auf diesen Beitrag antworten »
RE: fortgeschrittene Extremwertaufgabe
Also ich muss auch stark gegen die Unmöglichkeit des Beispiels protestieren!

Bei meiner Rechnungsmethode mittels Strahlensatz erhalte ich auch eine Fläche von 54 FE.

[IMG]

Entschuldigt die Zeichnung, hatte leider keine Zeit, die Skizze mit Graphikprogramm zu erstellen.

NB: 12 : 4 = x : y

HB: 96 - (12-x)(8-y) - 2x*y = 36y - 6y² -> max

Lsg: y = 3, x = 9, A = 54

Wink
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

mit Vektorrechnung hab ich nicht viel am Hut und deswegen
wenig Interesse mich da rein zu denken, ...

Gib mir die zweidimensionalen Koordinaten der Eckpunkte,
deines gefundenen Parallelogramms, dann sehen wir weiter.
(so oder soo ...)


Ich denke die Aufgabenstellung in der Ausgangspost sollte klar
sein, evtl die Zuordnung der beiden Rechteckseiten nicht ganz.

Das sei mal dahingestellt, weil ich denke es sei nicht ausschlaggebend.


P2 auf AD, P1 auf AB, P3 auf BC, das KÖNNTE schon merkwürdig
werden, (muss noch nicht zwingend, aaber ...)

denn immerhin sollen 2 Seiten parallel zu DM sein !!


smile



Na das ist natürlich der Hammer, dass ich in diese Falle
reingelaufen bin ....
siehe Bild @grybl

Meine Lösung schneidet NICHT die Linie DM ....

ok dann braucht ihr nicht weiter rechnen ....
dann liege ich falsch ....
Neuling Auf diesen Beitrag antworten »

grybl

ich kann deine Rechnung sehr gut nachvollziehen,ABER:

die Fläche des Parallelogramms müsste doch irgendwo eingebunden sein,oder?Sprich die Formel: g*h

Nebenbedingung ist klar.Was sind bei der Hauptbedingung die 2x*y?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

@Poff: Du liegst falsch!

Nimm dir grybl's Bild und wähle x = 9 und y = 3. Rechne den Föächeninhalt aus, und es sind 54!

@all others: Ihr seid das eigentlich falsch angegangen in euren Lösungen. Es ist a priori nicht klar, dass alle Eckpunkte eines maximalen Parallelogramms auf den Seiten des Rechtecks liegen. Man muss vom allgemeinen Fall ausgehen, in dem das Parallelogramm dem Rechteck einbeschrieben ist - und zwar irgendwie.

----------------------------------------------EDIT-------------------------------------------------------------


Zitat:
Original von Poff
Meine Lösung schneidet NICHT die Linie DM ....

Da soll auch nichts schneiden sondern parallel sein!

\\EDIT by sommer87: Bitte keine Doppelposts. EDIT nutzen!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Und für Leute, die Euklid verwenden, hier etwas zum Anschauen.

(Die Datei bitte nicht als .txt-Datei öffnen, sondern zuerst unter dem Namen "Parallelogramm (maximal).geo" abspeichern.)
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
\\EDIT by sommer87: Bitte keine Doppelposts. EDIT nutzen!

Okay... Aber warum? Außerdem ist ein Doppelpost für mich ein zweifacher Post mit ein und demselben Text.
sommer87 Auf diesen Beitrag antworten »

dafür gibt es PNs! Augenzwinkern

das machen wir bei allen Posts, die vom selben user in kurzen abständen gepostet wurden. Wenn du was ergänzen willst kannst du die EDIT funktion benutzen...

steht auch in der Userguide (Punkt 4) smile
Neuling Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
NB: 12 : 4 = x : y
HB: 96 - (12-x)(8-y) - 2x*y = 36y - 6y² -> max

Lsg: y = 3, x = 9, A = 54


also nochmal die Rechnung von Grybl.Ich verstehe darunter jetzt folgendes:

12:4 = x:y

3y=x

einsetzen in HP: 96 - (12-3y) (8-y) - 2*3y * y

ergibt doch: 96 - 96 - 12y - 24y + 3y^2 - 6y^2

oder liege ich da falsch?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, Wiedergutmachung *gg*


Allgemeine Lösung:

sei wiederum X die Teilstrecke von AD beginnend bei A,
deren Endpunkt liefert dann den gesuchten Parallelogramm-
punkt P (die weiteren ergeben sich dann zwangsweise)

Sei CM >= AD/3 . . . . . . ( (AD+CM)/4 <= CM )

Dann gilt für X

X = (AD+CM)/4

Fmax = (AD+CM)²/8 * AB/CM


Für CM < AD/3 sind die gesuchten Parallelogrammseiten,
einmal die Seite DM selbst und zum anderen die Parallele dazu
durch den Punkt B, mit Fmax = AB * BM
(der 'virtuelle' ParallelogrammPunkt liegt außerhalb AB)


Edit:
So stimmts jetzt.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Neuling
[QUOTE]oder liege ich da falsch?

Ja. Minus mal minus ergibt plus!

Zitat:
Original von Poff
sei wiederum X die Teilstrecke von AD beginnend bei A,
deren Endpunkt liefert dann den gesuchten Parallelogramm-
punkt P (die weiteren ergeben sich dann zwangsweise)

Die ergeben sich aber nur zwangsweise, wenn man davon ausgeht, dass alle Ecken des maximalen Parallelogramms auf den Seiten des Rechtecks liegen. Und das ist IMHO von vorneherein nicht unbedingt klar.
Neuling Auf diesen Beitrag antworten »

minus*minus=plus taucht nur einmal auf und zwar bei -3y * -y-Und das sind 3y^2

ansonsten bin ich momentan leider eher ratlos,wie ich da nun entgültig rangehen soll.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

OK, ich sach nur Minusklammer.
derHund Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
dass alle Ecken des maximalen Parallelogramms auf den Seiten des Rechtecks liegen. Und das ist IMHO von vorneherein nicht unbedingt klar.

doch, imho kann man ruhigen gewissens davon ausgehen.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

... also, ich kann den Fehler im Moment einfach nicht finden,
bis auf das, dass diese allgemeine Lösung einschränkend nur
für CM > ... gilt und eben nicht für alle CM > 0, so wie es
eigentlich gedacht war ...
(werd das nochmal verfolgen, aber nicht mehr heute ...)


Zitat:
Original von WebFritzi
...
Die ergeben sich aber nur zwangsweise, wenn man davon ausgeht, dass alle Ecken des maximalen Parallelogramms auf den Seiten des Rechtecks liegen. Und das ist IMHO von vorneherein nicht unbedingt klar.


Alle 4 nicht auf den Rechteckseiten kann nicht sein, den dann
gäbe es ein größeres ...

3 Punkte nicht auf den Seiten kann nicht sein, denn dann gäbe
es ebenfalls ein größeres.

2 nebeneinander liegende Punkte nicht auf den Seiten, geht nicht,
denn die liesen sich durch Parallelverschiebung unter Beibehaltung
der fix vorgegebenen Richtung auf wenigstens ein Punkt nicht auf
der Seite zurückführen zugleich dabei F vergrößern.

1 Punkt nicht auf den Seiten geht nicht, denn dieser eine
lässt sich ebenfalls unter Beibehaltung der vorgegebenen Richtung
einer Strecke durch geeignete Parallelverschiebung der freien
auf die Seite bringen und dabei Höhe und Fläche gewinnen.

bleibt nur noch 2 gegenüberliegende Punkte nicht auf den Seiten,
dies kann auch nicht sein, denn dann kannst du durch Parallel-
verschiebungen der Seiten die ihre Richtung nicht ändern dürfen
beidseitig Höhe gewinnen und damit Fläche vergrößern.


smile
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Die ersten beiden Einwände verstehe ich nicht. Dann setzt es bei mir aus. Kannst du das vielleicht nochmal näher erläutern? Vielleicht speziell das mit dem einen Punkt, der auf keiner Seite liegt.

Zitat:

Zitat:
dass alle Ecken des maximalen Parallelogramms auf den Seiten des Rechtecks liegen. Und das ist IMHO von vorneherein nicht unbedingt klar.

doch, imho kann man ruhigen gewissens davon ausgehen.

Was zu beweisen wäre...
derHund Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Was zu beweisen wäre...

a + b > a für alle a,b mit b>0.

ok?
grybl Auf diesen Beitrag antworten »
RE: fortgeschrittene Extremwertaufgabe
Habe leider bei meiner HB einen Tippfehler traurig , Zusammenfassung war dann richtig

Soll heißen 96 - (12-x)(8-y) - x*y

@Neuling:
Das ist die Fläche des Parallelogramms. Man muss ja diese nicht unbedingt durch a*ha berechnen.

Wink
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe die ganze Diskussion oben nicht. grybl hat doch schon längst alles geklärt. Im übrigen empfehle ich noch einmal meine dynamische Euklid-Zeichnung von gestern zum Herunterladen.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Die ersten beiden Einwände verstehe ich nicht. Dann setzt es bei mir aus. Kannst du das vielleicht nochmal näher erläutern? Vielleicht speziell das mit dem einen Punkt, der auf keiner Seite liegt.


... mache ich, aber später.


Den vermeintlichen Fehler in meiner Post habe ich 'berichtigt'
http://matheboard.de/thread.php?sid=&postid=36697#post36697


das ist übrigens völlig analog zu meiner ursprünglichen Lösung ,
die NUR von einem anderen Parallelogramm ausging,
nämlich dem das die Linie MD NICHT übertreten darf ...
das war das ganze Missverständnis.
Unter dieser Sicht war diese Lösung nämlich völlig richtig.


smile
Neuling Auf diesen Beitrag antworten »

ein letztes Aufbäumen:

Minusklammer wurde nun berücksichtigt:

96-(12+3y) (8+y) -x*y

24y+12y=36y was klar ist.
Aber dann habe ich stehen 3y^2 - 3y^2.Würde ja 0 ergeben.Aber es muss ja -6y^2 ergeben,was heißt,dass ich irgendwo was falsch gemacht habe.Aber wo?Die Lösung und das Auflösen nach x wäre danach auch klar.

Und zum Schluss die letzte Frage: Die Werte 3 und 9 setze ich wo ein um auf 54 zu kommen?

Sorry wegen den ganzen Fragen: Mit dieser Aufgabe wurde bei mir genau ins schwarze getroffen
grybl Auf diesen Beitrag antworten »
RE: fortgeschrittene Extremwertaufgabe
96-(12-3y)(8-y)-3*y*y = 96 - 96 +12y +24y -3*y² - 3*y²=36y - 6y²

X und y setzt du dann in dei Hauptbedingung ein.

Wink
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von derHund
Zitat:
Was zu beweisen wäre...

a + b > a für alle a,b mit b>0.

ok?

*lol* Ne, natürlich ist das nicht OK. Ich habe heute das Problem mit ein paar Komilitonen besprochen, und die meinen auch alle, dass das nicht von vorneherein klar ist. Deine Lösung ist nicht vollständig, solange du nicht gezeigt hast, dass bei einem maximalen Parallelogramm die Punkte auf den Seiten des Rechtecks liegen müssen. Du bist sicher so einer von denen, die immer sagen: "Ah, das ist doch eh klar!" Aber das ist nicht der Sinn von Mathematik. Jede Behauptung muss bewiesen werden. Und da du deine Hypothese scheinbar nicht richtig begründen kannst, weißt du selber nicht, warum das so ist. Kurz gesagt: es ist dir selber nicht klar. Aber du behauptest, es sei dir klar. Ich sage: du lügst. Es ist dir nur intuitiv klar. Aber Intuition hat in der Mathematik keinen Platz!
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