fortgeschrittene Extremwertaufgabe |
| 25.05.2004, 13:20 | Neuling | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| fortgeschrittene Extremwertaufgabe heute meinte unser Lehrer,dass die folgende Aufgabe eine fortgeschrittene Extremwertaufgabe sei,die ich vergeblich versuche zu lösen: Ein Rechteck ABCD ist 12 cm land und 8 cm breit. M sei die Mitte von BC. Dem Rechteck soll ein Parallelogramm so einbeschrieben werden, dass zwei Seiten zu DM parallel sind und der Flächeninhalt möglichst groß ist. Als Ansatz habe ich bisher leider noch nicht viel,nur die Strecke DM,die man ja mit dem Satz des Pythagoras berechnen kann. kann mir da jemand weiterhelfen? |
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| 25.05.2004, 14:34 | Guevara | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich würde Sagen Das Paralellogramm hat einen Flächenihalt von 48cm². |
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| 25.05.2004, 14:36 | koRn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Um das Parallelogramm zu bestimmen habe ich eine Grafik erstellt ;-) Dazu noch ein paar Parameter . So , jetzt mal der Hintergrund : Die Dreiecke ( grün/rot ) , die diagonal zueinander stehen, sind äquivalent. Ziel ist es P bzw. die Strecke X herauszubekommen , um daovn auf den Flächeninhalt zu schließen. Fläche des Rechtecks: abzüglich der Dreiecke Bedingungen : Daraus folgt : Danach muss einem klar werden , wie wir mit Hilfe der Variablen usw. auf den Punkt kommen . Man erkennt in der Skizze mehrere Stufendreiecke . Mit Hilfe des unteren Dreiecks ( rot) , kann man die Winkel ermitteln . Dann geht man ins obere Dreieck und nimmt den tan um auf die Strecke a zu kommen im Verhältnis zu x. Jetzt hast du eine Verbindung zwischen den Variablen x|y und a|b und kannst nach x auflösen . Ergebnis: max vorhanden Der untere Punkt vom Parallelogramm muss bei P(8/3) vorliegen und dann ist der Flächeninhalt am größten ;-) |
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| 25.05.2004, 14:38 | koRn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Den Flächeninhalt kannst du ja analog davon ableiten ;-) |
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| 25.05.2004, 14:43 | koRn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
scheiße ... die ganze Rechnung um sonst 
Hab mir die Aufgabenstellung nicht genau durchgelesen . Hab aber jetzt leider auch keine Zeit mehr neuanzufangen . Dafür hast du aber schonmal den Ansatz ;-) |
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| 25.05.2004, 18:00 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Der Winkel CDM sei a, die Fläche des Parallelogramm F = (Grundlinie * Höhe) und X eine Teilstrecke von AD, beginnend bei A dann gilt folgende Beziehung: Grundlinie = X*sin(a)*k Höhe = DA*cos(a) - x*cos(a) =(DA - X)*cos(a) F= X*sin(a)*k *(DA - X)*cos(a) F* = X*(DA - X) .... die 3 weiteren Faktoren fallen wg. Invarianz raus F*' = -2X+DA ... mit Lösung X = DA/2 um sicherzustellen, dass dies auch eine echte Lösung ist, ist nur noch zu prüfen, ob die Parallele zu DM durch die Mitte von AD auch innerhalb von AB die Gerade AB schneidet. Offensichtlich ist dies genau der Fall. Wäre dem nicht so, (z.B. M dichter an C) so wäre das maximal mögliche Parallelogramm gegeben durch die Parallele zu DM durch den Punkt B 
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| 25.05.2004, 18:38 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: fortgeschrittene Extremwertaufgabe Habe ich einen Denkfehler 
oder geht das nicht einfacher mit Hilfe des Strahlensatzes?2 Seiten sind ja parallel zu DM, daher habe ich 2 ähnliche Dreiecke:
Daher liefert mir der Strahlensatz: 4:y=12:x z.B. x ausdrücken und in Hauptbedingung einsetzen 
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| 25.05.2004, 19:19 | Neuling | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
also ich habe das mal nach y aufgelöst und zwar kommt dann folgendes raus: y=1/3x aber die Hauptbedingung ist doch die Fläche des Parallelogramm oder? Also F=g*h kann man doch gar nicht einsetzen |
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| 25.05.2004, 20:43 | derHund | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
da du jetzt y in x ausdrücken kannst, kannst du wunderbar zwei vektoren aufstellen, die das parallelogramm aufspannen ... und per vektor-produkt die fläche in abhängigkeit von x errechnen, ableiten, ... |
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| 26.05.2004, 07:37 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich hab das sehr umständlich mit Lagrange-Faktoren gemacht. Aber irgendwie konnte ich das nicht anders modellieren als als eine Optimierungsaufgabe mit Nebenbedingungen. Mit Schlupfvariablen und allem drum und dran... In meiner Lösung (die ziemlich wahrscheinlich richtig ist 
) hat die lange Seite (die längs DM) eine Länge von und die kurze Seite eine von . Der maximale Flächeninhalt ist 54. Das Rechteck fällt dabei übrigens mit dem kleinsten Rechteck zusammen, welches das Parallelogramm umfasst, d.h. alle Ecken des Parallelogramms liegen auf den Seiten des Rechtecks. |
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| 26.05.2004, 08:05 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: fortgeschrittene Extremwertaufgabe Wenn du die Fläche mit 96 - (12-x)(8-y) - x.y (Rechteck - 4 Dreiecke) berechnest, gehts doch oder?
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| 26.05.2004, 13:20 | derHund | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
und war zwischendurch sogar nochmal kaffee holen
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| 26.05.2004, 14:49 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@WebFritzi deine Lösung -wenn ich sie denn richtig verstanden habe- ist unmöglich .... Habe das gerade kontrolliert, ein solches Gebilde ist nicht möglich innerhalb des geg. Rechtecks und den vorg. Bedingungen. Meine Lösung sagt aus, dass das Resultat für MC >= BC/2 STETS die Parallele zu DM durch die MITTE von AD ist. Der Rest ergibt sich dann von selbst. (in diesem Falle hier ergibt das F=48 ) Im Falle MC < BC/2 ist es die Parallele zu DM durch B. Dabei habe ich im Ansatz NICHT nach Parallelogrammen gesucht, sondern nach Rechtecken
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| 26.05.2004, 15:49 | derHund | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
na sicher ist solch ein gebilde möglich, mit dem angegebenen seitenlänge.
in WebFritzis Falle erhilte man A = 54. |
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| 26.05.2004, 17:09 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dann erklär nochmal bitte, wie du das gemacht hast. Und bitte erkläre auch deine Operationssymbole (Was ist x.y??). |
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| 26.05.2004, 18:00 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: fortgeschrittene Extremwertaufgabe x.y ist x mal y! 
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| 26.05.2004, 18:30 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
es ist NICHT möglich. Damit ein solches Ding diese Fläche hat müsste es zu der (ja wohl nur auf DM möglichen liegenden) längeren Seite von 10*sqrt(30), eine zugehörige Höhe der Größe von (etwa) sqrt(34) haben. Diese Höhe jedoch impliziert ZWINGEND eine zweite zur DM-Seite parallele Seite mit maximal möglicher Seitenlänge von knapp 6 .... Ein Widerspruch zu der Aussage dass es sich dabei um ein Parallelogramm handeln solle, denn dann müsste diese Seite ebenfalls von der Länge 10*sqrt(30) sein wenn du unbedingt die Rechnung brauchst, so kann ich es dir auch vorrechnen, denke jedoch das ist NICHT nötig. Die Unmöglichkeit dieses Gebildes liegt dermaßen extrem daneben, dass es Rechnerei dazu eigentlich NICHT bedarf.
auch im Falle vertauschter Seitenrollen des Ausgangsrechtecks ist es nicht möglich, auch hier ergibt sich F zu maximal 48 |
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| 26.05.2004, 19:25 | derHund | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
dann sag mir was falsch ist ... A kommt in den ursprung, P1 ist der eckpunkt des parallelogramms, der auf AB liegt, P2 auf AD, P3 auf BC. x ist AP1, y ist AP2. wir wissen: y=1/3x. wir haben als formel für die fläche ergibt sich A(x) = 12x - 2/3x^2 Ableiten, ... wir erhalten für x=9 ein maximum ... somit a = 3*sqrt(10), b = sqrt(34) A = 54 :dontknow: |
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| 26.05.2004, 19:37 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: fortgeschrittene Extremwertaufgabe Also ich muss auch stark gegen die Unmöglichkeit des Beispiels protestieren! Bei meiner Rechnungsmethode mittels Strahlensatz erhalte ich auch eine Fläche von 54 FE. [IMG] Entschuldigt die Zeichnung, hatte leider keine Zeit, die Skizze mit Graphikprogramm zu erstellen. NB: 12 : 4 = x : y HB: 96 - (12-x)(8-y) - 2x*y = 36y - 6y² -> max Lsg: y = 3, x = 9, A = 54
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| 26.05.2004, 19:54 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
mit Vektorrechnung hab ich nicht viel am Hut und deswegen wenig Interesse mich da rein zu denken, ... Gib mir die zweidimensionalen Koordinaten der Eckpunkte, deines gefundenen Parallelogramms, dann sehen wir weiter. (so oder soo ...) Ich denke die Aufgabenstellung in der Ausgangspost sollte klar sein, evtl die Zuordnung der beiden Rechteckseiten nicht ganz. Das sei mal dahingestellt, weil ich denke es sei nicht ausschlaggebend. P2 auf AD, P1 auf AB, P3 auf BC, das KÖNNTE schon merkwürdig werden, (muss noch nicht zwingend, aaber ...) denn immerhin sollen 2 Seiten parallel zu DM sein !!
Na das ist natürlich der Hammer, dass ich in diese Falle reingelaufen bin .... siehe Bild @grybl Meine Lösung schneidet NICHT die Linie DM .... ok dann braucht ihr nicht weiter rechnen .... dann liege ich falsch .... |
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| 26.05.2004, 20:10 | Neuling | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
grybl ich kann deine Rechnung sehr gut nachvollziehen,ABER: die Fläche des Parallelogramms müsste doch irgendwo eingebunden sein,oder?Sprich die Formel: g*h Nebenbedingung ist klar.Was sind bei der Hauptbedingung die 2x*y? |
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| 26.05.2004, 20:14 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@Poff: Du liegst falsch! Nimm dir grybl's Bild und wähle x = 9 und y = 3. Rechne den Föächeninhalt aus, und es sind 54! @all others: Ihr seid das eigentlich falsch angegangen in euren Lösungen. Es ist a priori nicht klar, dass alle Eckpunkte eines maximalen Parallelogramms auf den Seiten des Rechtecks liegen. Man muss vom allgemeinen Fall ausgehen, in dem das Parallelogramm dem Rechteck einbeschrieben ist - und zwar irgendwie. ----------------------------------------------EDIT-------------------------------------------------------------
Da soll auch nichts schneiden sondern parallel sein! \\EDIT by sommer87: Bitte keine Doppelposts. EDIT nutzen! |
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| 26.05.2004, 20:29 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Und für Leute, die Euklid verwenden, hier etwas zum Anschauen. (Die Datei bitte nicht als .txt-Datei öffnen, sondern zuerst unter dem Namen "Parallelogramm (maximal).geo" abspeichern.) |
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| 26.05.2004, 20:31 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Okay... Aber warum? Außerdem ist ein Doppelpost für mich ein zweifacher Post mit ein und demselben Text. |
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| 26.05.2004, 20:42 | sommer87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
dafür gibt es PNs!
das machen wir bei allen Posts, die vom selben user in kurzen abständen gepostet wurden. Wenn du was ergänzen willst kannst du die EDIT funktion benutzen... steht auch in der Userguide (Punkt 4)
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| 26.05.2004, 20:46 | Neuling | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
also nochmal die Rechnung von Grybl.Ich verstehe darunter jetzt folgendes: 12:4 = x:y 3y=x einsetzen in HP: 96 - (12-3y) (8-y) - 2*3y * y ergibt doch: 96 - 96 - 12y - 24y + 3y^2 - 6y^2 oder liege ich da falsch? |
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| 26.05.2004, 22:08 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, Wiedergutmachung *gg* Allgemeine Lösung: sei wiederum X die Teilstrecke von AD beginnend bei A, deren Endpunkt liefert dann den gesuchten Parallelogramm- punkt P (die weiteren ergeben sich dann zwangsweise) Sei CM >= AD/3 . . . . . . ( (AD+CM)/4 <= CM ) Dann gilt für X X = (AD+CM)/4 Fmax = (AD+CM)²/8 * AB/CM Für CM < AD/3 sind die gesuchten Parallelogrammseiten, einmal die Seite DM selbst und zum anderen die Parallele dazu durch den Punkt B, mit Fmax = AB * BM (der 'virtuelle' ParallelogrammPunkt liegt außerhalb AB) Edit: So stimmts jetzt. |
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| 26.05.2004, 22:20 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja. Minus mal minus ergibt plus!
Die ergeben sich aber nur zwangsweise, wenn man davon ausgeht, dass alle Ecken des maximalen Parallelogramms auf den Seiten des Rechtecks liegen. Und das ist IMHO von vorneherein nicht unbedingt klar. |
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| 26.05.2004, 22:26 | Neuling | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
minus*minus=plus taucht nur einmal auf und zwar bei -3y * -y-Und das sind 3y^2 ansonsten bin ich momentan leider eher ratlos,wie ich da nun entgültig rangehen soll. |
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| 26.05.2004, 22:39 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
OK, ich sach nur Minusklammer. |
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| 26.05.2004, 23:18 | derHund | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
doch, imho kann man ruhigen gewissens davon ausgehen. |
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| 27.05.2004, 00:33 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
... also, ich kann den Fehler im Moment einfach nicht finden, bis auf das, dass diese allgemeine Lösung einschränkend nur für CM > ... gilt und eben nicht für alle CM > 0, so wie es eigentlich gedacht war ... (werd das nochmal verfolgen, aber nicht mehr heute ...)
Alle 4 nicht auf den Rechteckseiten kann nicht sein, den dann gäbe es ein größeres ... 3 Punkte nicht auf den Seiten kann nicht sein, denn dann gäbe es ebenfalls ein größeres. 2 nebeneinander liegende Punkte nicht auf den Seiten, geht nicht, denn die liesen sich durch Parallelverschiebung unter Beibehaltung der fix vorgegebenen Richtung auf wenigstens ein Punkt nicht auf der Seite zurückführen zugleich dabei F vergrößern. 1 Punkt nicht auf den Seiten geht nicht, denn dieser eine lässt sich ebenfalls unter Beibehaltung der vorgegebenen Richtung einer Strecke durch geeignete Parallelverschiebung der freien auf die Seite bringen und dabei Höhe und Fläche gewinnen. bleibt nur noch 2 gegenüberliegende Punkte nicht auf den Seiten, dies kann auch nicht sein, denn dann kannst du durch Parallel- verschiebungen der Seiten die ihre Richtung nicht ändern dürfen beidseitig Höhe gewinnen und damit Fläche vergrößern.
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| 27.05.2004, 05:14 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die ersten beiden Einwände verstehe ich nicht. Dann setzt es bei mir aus. Kannst du das vielleicht nochmal näher erläutern? Vielleicht speziell das mit dem einen Punkt, der auf keiner Seite liegt.
Was zu beweisen wäre... |
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| 27.05.2004, 07:51 | derHund | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
a + b > a für alle a,b mit b>0. ok? |
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| 27.05.2004, 08:28 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: fortgeschrittene Extremwertaufgabe Habe leider bei meiner HB einen Tippfehler
, Zusammenfassung war dann richtig Soll heißen 96 - (12-x)(8-y) - x*y @Neuling: Das ist die Fläche des Parallelogramms. Man muss ja diese nicht unbedingt durch a*ha berechnen.
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| 27.05.2004, 10:15 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich verstehe die ganze Diskussion oben nicht. grybl hat doch schon längst alles geklärt. Im übrigen empfehle ich noch einmal meine dynamische Euklid-Zeichnung von gestern zum Herunterladen. |
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| 27.05.2004, 11:48 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
... mache ich, aber später. Den vermeintlichen Fehler in meiner Post habe ich 'berichtigt' http://matheboard.de/thread.php?sid=&postid=36697#post36697 das ist übrigens völlig analog zu meiner ursprünglichen Lösung , die NUR von einem anderen Parallelogramm ausging, nämlich dem das die Linie MD NICHT übertreten darf ... das war das ganze Missverständnis. Unter dieser Sicht war diese Lösung nämlich völlig richtig.
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| 27.05.2004, 14:26 | Neuling | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ein letztes Aufbäumen: Minusklammer wurde nun berücksichtigt: 96-(12+3y) (8+y) -x*y 24y+12y=36y was klar ist. Aber dann habe ich stehen 3y^2 - 3y^2.Würde ja 0 ergeben.Aber es muss ja -6y^2 ergeben,was heißt,dass ich irgendwo was falsch gemacht habe.Aber wo?Die Lösung und das Auflösen nach x wäre danach auch klar. Und zum Schluss die letzte Frage: Die Werte 3 und 9 setze ich wo ein um auf 54 zu kommen? Sorry wegen den ganzen Fragen: Mit dieser Aufgabe wurde bei mir genau ins schwarze getroffen |
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| 27.05.2004, 17:15 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: fortgeschrittene Extremwertaufgabe 96-(12-3y)(8-y)-3*y*y = 96 - 96 +12y +24y -3*y² - 3*y²=36y - 6y² X und y setzt du dann in dei Hauptbedingung ein.
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| 27.05.2004, 17:52 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
*lol* Ne, natürlich ist das nicht OK. Ich habe heute das Problem mit ein paar Komilitonen besprochen, und die meinen auch alle, dass das nicht von vorneherein klar ist. Deine Lösung ist nicht vollständig, solange du nicht gezeigt hast, dass bei einem maximalen Parallelogramm die Punkte auf den Seiten des Rechtecks liegen müssen. Du bist sicher so einer von denen, die immer sagen: "Ah, das ist doch eh klar!" Aber das ist nicht der Sinn von Mathematik. Jede Behauptung muss bewiesen werden. Und da du deine Hypothese scheinbar nicht richtig begründen kannst, weißt du selber nicht, warum das so ist. Kurz gesagt: es ist dir selber nicht klar. Aber du behauptest, es sei dir klar. Ich sage: du lügst. Es ist dir nur intuitiv klar. Aber Intuition hat in der Mathematik keinen Platz! |
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