sinus, cosinus....

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sunisoc Auf diesen Beitrag antworten »
sinus, cosinus....
Nabend,
ich verstehe folgendes nicht:
In meinem Mathebuch steht:
Im Dreieck ABC ist beta=90°-alpha
Damit gilt:
sin(alpha) = AC = cos(beta)

Hmm, dass sin(alpha) = cos(beta) ist, is ja klar... aber warum zum tefel noch eis is das die Strecke AC!? sin(alpha) is ja b/c, wie kann das denn das selbe sein wie b?
bitte um hilfe =)
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn das tatsächlich so in deinem Mathebuch steht, dann steht da Unsinn.
Voessli Auf diesen Beitrag antworten »

Geht es möglicherweise um den Einheitskreis?
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

... in welchem Falle es sich aber um die Strecke a = BC handeln müsste.
sonisuc Auf diesen Beitrag antworten »

hmm, also das mit Einheitskreis könnte sein..^^ jedenfalls is da ne Abbildung mit nem Kreisausschnitt neben dran bei dem B gleich der Mittelpunk is und A Schnittpunkt auf dem Kreis...
Aber das steht weit und breit nichst außer dem was ich geschrieben habe und eben noch das ganze für die andere Kathede...
Nehmen wir mal an, das wär edas mit dem Einheitskreis... was würde das denn dann bedeuten? =) (ich entschuldige mich an dieser stelle mal für meine ahnungslosigkeit smile )
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen, es handelt sich um einen Druckfehler und die Strecke a (und nicht b) ist gemeint. Am Einheitskreis ist (es handelt sich um einen Radius des Kreises) und daher ist

.
 
 
sonisuc Auf diesen Beitrag antworten »

ah, alles klar, dankeschön =)
aber ist sinus(alpha) nich b/c? Gegenkathete durch hypotenuse....
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, GEGENkathete/Hypotenuse ist schon die Formel für den Sinus, konventionsgemäß liegt im Dreieck aber a gegenüber von alpha und nicht b.

Wenn also die Hypotenuse c ist und 1 lang ist und gegenüber von alpha b (statt a) liegt, dann ist sin(alpha)=b/c.
Nur wenn das so ist, vielleicht hängst du das Bild mal an, sonst können wir nur raten.
sonisuc Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dass war dann wohl mein Fehler.... dachte die Winkel sind immer entgegen des Uhrzeigersinns alpha, beta, gamma... in der zeichung is das allerdings alpha, gamma, beta... da hab ich dann nimmer richtig durchgeblickt.

Naja, dient dieser Einheitskreis nur zur veranschaulichung oder wozu is der gut? =)
Hab jetzt leider nirgendwo nen Bild von einem Einheitskreis gefunden, aber ich hoffe mal ihr könnt mir auch so weiterhelfen... also sinus(alpha) entspricht der Strecke a, cosinus(alpha) der Strecke b, nun ist da aber noch tangens eingezeichnet, also Strecke zwischen x=1 und schnittpunkt der erweiterung der Hypotenuse... könnt mir das jemand erklären? oO
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Wie erklären? Da ist einfach nur ein Dreieck, in dem man Sinus und Kosinus direkt ablesen kann (weil die Hypotenuse 1 ist). Der Tangens ergibt sich aus dem 2. Strahlensatz:

,

und daher

.
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuchs dir mal auf meine Art zu erklären:

Man hat verschiedene Möglichkeiten einen Winkel anzugeben.

Man kann sagen, er hat soundsoviele Grad ODER:

Er hat am Einheitskreis ( Radius = 1) eine bestimmte Sinuslänge, eine bestimmte Cosinuslänge und eine bestimmte Tangenslänge.

Den Sinus eines Winkels zeichnest du folgendermaßen ein:

Jeder Winkel hat ja 2 Schenkel. Der 1. Schenkel ist die positive x-Achse und der 2. Schenkel ist dort, wo der Winkel endet.

Von dort, wo der 2. Schenkel auf den Kreis trifft fährt man senkrecht hinunter zur x-Achse. Und diese Länge ist nun der Sinus.

Cosinus einzeichnen:

Vom Ursprung bis dorthin, wo der Sinus auf die x-Achse aufgetroffen ist.

Tangens einzeichnen:

Außen am Kreis senkrecht hinauf, bis man auf den 2. Schenkel trifft.


Wenn du nun z.b. den Winkel 30° in den Einheitskreis zeichnest, und dann den Sinus, den Cosinus und den Tangens von diesem Winkel einzeichnest, so entstehen 2 ähnliche rechtwinklige Dreiecke, in denen man Verhältnisse berechnen kann.

Im kleineren rechtwinkligen Dreieck sind die Sinuslänge und die Cosinuslänge die Katheten. Und die Hypothenuse ist der Radius des Einheitskreises - also 1 Einheit lang.

Daher gilt nun Pythagoras:

sin²alpha + cos²alpha = 1

Und wenn man beide Dreiecke in ein Verhältnis bringt, dann gilt:

klein waagrecht zu klein senkrecht verhält sich wie groß waagrecht zu groß senkrecht

daher:

cosinus : sinus = 1 : tangens

Und wenn man das auflöst, kommt raus:

cosinus * tangens = 1 * sinus

tangens = sinus / cosinus

daher:

tan(alpha) = sin(alpha)/cos(alpha)

lg kiki
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