Algebra erzeugen

12.06.2006, 09:10

Susanne

Algebra erzeugen

Hallo zusammen, ich habe hier eine Aufgabe, wo es darum geht eine Algebra zu erzeugen! ... ich habe keinen Ansatz gefunden! Bitte deshalb dringstens um Hilfe, da ich die Aufgabe morgen abgeben muss! ... Danke vielmals im Voraus! ... Also:

Zu einer Menge X definieren wir B = { A Teilmenge X \ A endlich } Vereinigung { A Teilmenge X \ X - A endlich}.
Zeige, dass B eine Algebra ist. Weiter definieren wir C = { A Teilmenge X \ A abzählbar } Vereinigung { A Teilmenge X \ X - A abzählbar }. Zeige, dass C die von B erzeugte Sigma-Algebra ist.

12.06.2006, 10:35

Anirahtak

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Hallo Susanne,

im ersten Teil der Aufgabe musst du zeigen, dass die drei definierenden Eigenschaften einer Mengen-Algebra erfüllt sind.

Und für den zweiten teil zeige, dass
* C eine Sigma-Algebra ist
* B in C liegt
* sich jedes Element aus C als Kompliment und abzb. Vereinigung von Mengen aus B darstellen lässt.

Wie weit kommst du?

Gruß
Anirahtak

PS: Verschoben nach HöMa

12.06.2006, 11:46

Susanne

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Hi,

hier erstmal die Def. einer Algebra! Also:

1.{},X ist Element der Algebra
2. für A,B Element Algebra ist A-B und AuB in Algebra

So: ...
Die leere Menge ist ja immer eine Teilmenge von der Algebra, also folgt, dass sie drinne sein muss! Aber wie beweise ich das ??? ... wie sieht das mit der 2. Eigenschaft überhaupt aus ??? ... ich hab da keinen Ansatz!

2. Teilaufgabe

Sigma-Algebra heißt ja, falls für A(j)Element Algebra(j=1,2,...)gilt:
[atex] \infty (\bigcup) j=1[/latex] a(j) Element von Algebra
Wenn C abzählbar ist bedeutet das doch, dass c auch endlich ist! Und wenn C endlich ist, muss X auch endlich, da Teilmenge und X-A abzählbar und damit auch endlich! ... richtig? wie siehtdas konkrete Beweis aus?
B liegt in C, weil A=endlich=abzählbar und X-A=endlich=abzählbar ist und somit B in C liegt! ... oder? Beweis ???
Zum dritten Punkt weiß ich nichgts! ... Kannst du mir bitte einen Ansatz dau geben? Danke für Deine Hilfe!

12.06.2006, 23:39

Susanne

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Hallo zusammen,

kann mir denn niemand bei dieser Aufgabe helfen? ...

13.06.2006, 18:21

Abakus

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Zitat:

So: ...
Die leere Menge ist ja immer eine Teilmenge von der Algebra, also folgt, dass sie drinne sein muss! Aber wie beweise ich das ??? ... wie sieht das mit der 2. Eigenschaft überhaupt aus ??? ... ich hab da keinen Ansatz!

Die leere Menge ist endlich. Nun schau in die Definition deiner Mengensysteme. Für die zweite Eigenschaft nimm dir A und B her und untersuche die Vereinigung bzw. Differenz.

Zitat:

2. Teilaufgabe

Sigma-Algebra heißt ja, falls für A(j)Element Algebra(j=1,2,...)gilt:
[atex] \infty (\bigcup) j=1[/latex] a(j) Element von Algebra
Wenn C abzählbar ist bedeutet das doch, dass c auch endlich ist! Und wenn C endlich ist, muss X auch endlich, da Teilmenge und X-A abzählbar und damit auch endlich! ... richtig? wie siehtdas konkrete Beweis aus?
B liegt in C, weil A=endlich=abzählbar und X-A=endlich=abzählbar ist und somit B in C liegt! ... oder? Beweis ???
Zum dritten Punkt weiß ich nichgts! ... Kannst du mir bitte einen Ansatz dau geben? Danke für Deine Hilfe!

Nein, aus abzählbar folgt nicht endlich. Die Abzählbarkeit von C ist nicht vorausgesetzt. C ist ein Mengensystem und enthält als Elemente demnach Mengen. Die Anzahl der Elemente (bzw. Mächtigkeit) von C sagt nichts über die Mächtigkeit der Elemente selbst aus.

Eine Idee ist hier, Vereinigungen über Singletons {x} zu betrachten, um etwa abzählbare Mengen durch eine abzählbare Vereinigung endlicher Mengen darzustellen.

Grüße Abakus smile

13.06.2006, 20:18

Susanne

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Hi,

und wie soll das Ganze aussehen? ... ich kann damir nichts anfangen! ...
dankedanke!!!

13.06.2006, 20:31

Abakus

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Was genau ist dir unklar ? Du hast eine Reihe von Hinweisen zum Loslegen und es gibt bereits eine Struktur der Lösung (also du weißt, was du zuerst zeigen musst).

Dazu könntest du dir zB über die Bordsuche einige Dinge über Beweistechnik anschauen (Kernpunkt: wie wird in ähnlichen Fällen argumentiert ?).

Grüße Abakus smile

13.06.2006, 20:38

Susanne

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Wie soll ich die Vereinigung und die Differenz zeigen ??? ... wie muss ich vorgehen?

13.06.2006, 20:39

Susanne

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"Eine Idee ist hier, Vereinigungen über Singletons {x} zu betrachten, um etwa abzählbare Mengen durch eine abzählbare Vereinigung endlicher Mengen darzustellen."

Was bedeutet das ???

13.06.2006, 21:22

Abakus

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Zitat:

Original von Susanne
Wie soll ich die Vereinigung und die Differenz zeigen ??? ... wie muss ich vorgehen?

Seien $\begin{eqnarray*} E, F \in B \end{eqnarray*}$ . Wir machen nun eine Fallunterscheidung. Möglich sind genau 4 Fälle:

(1) E und F sind endlich: dann sind auch $\begin{eqnarray*} E \cup F,~E \setminus F \end{eqnarray*}$ endlich (denn wenn zu endlich vielen Elementen endlich viele dazu kommen, bleibt es endlich; wenn endlich viele weggenommen werden, erst recht) und daher folgt $\begin{eqnarray*} E \cup F,~E \setminus F \in B \end{eqnarray*}$

(2) E ist endlich und F ist co-endlich (d.h. das Komplement ist endlich): dann ist $\begin{eqnarray*} E \cup F \end{eqnarray*}$ ebenfalls co-endlich (...) und daher $\begin{eqnarray*} E \cup F \in B \end{eqnarray*}$ . Die Differenz $\begin{eqnarray*} E \setminus F \end{eqnarray*}$ ist dagegen endlich (...), daher gilt $\begin{eqnarray*} E \setminus F \in B \end{eqnarray*}$ .

(3) E ist co-endlich und F endlich: ...

(4) E und F sind co-endlich: ...

Zitat:

Original von Abakus
"Eine Idee ist hier, Vereinigungen über Singletons {x} zu betrachten, um etwa abzählbare Mengen durch eine abzählbare Vereinigung endlicher Mengen darzustellen."

Was bedeutet das ???

Du sollst zeigen, dass jedes Element von C durch abzählbare Vereinigung von Elementen aus B dargestellt werden kann. Betrachte dazu nun die 2 möglichen Fälle:

(1) Sei G eine abzählbare Menge mit $\begin{eqnarray*} G \in C \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} G = \bigcup_{x \in G} \{x\} \end{eqnarray*}$ . Sicher ist $\begin{eqnarray*} \{x\} \in B \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} \{x\} \end{eqnarray*}$ ist für alle $\begin{eqnarray*} x \in G \end{eqnarray*}$ eine einelementige und damit endliche Menge. Somit ist G als abzählbare Vereinigung von Mengen aus B dargestellt.

(2) Sei H eine co-abzählbare Menge mit $\begin{eqnarray*} H \in C \end{eqnarray*}$ . Dann ...

Das Prinzip ist also, die math. Begriffe bis in jede Kleinigkeit auseinander zu nehmen und darauf die einzelnen Beweisschritte aufzubauen.

Grüße Abakus smile

EDIT: Text + Latex

13.06.2006, 21:45

Susanne

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Also zu den ersten 4 Fällen! Die ersten beiden Fälle hast du ja schon bewiesen! ... jetzt zu 3.:

E ist co-endlich und F ist endlich. Dann ist FuE ebenfalls co-endlich und somit FuE Element von B. Die differenz F\E ist endlich und daher F\E Element von B ... ist das richtig so ???

4. Da weiß ich ehrlich gesagt nicht, wie ich rangehen soll!

Jetzt zum zweiten Teil die 2.

Sei H ... Dann ist H=U (index x Element H x. Somit ist x Element H. Das ist eine endliche Menge und sei b das Komplement von x, dann ist H co-abzählbare Menge aus B ... ich glaub das ist falsch! ... oder ???

13.06.2006, 22:25

Abakus

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Zitat:

Original von Susanne
Also zu den ersten 4 Fällen! Die ersten beiden Fälle hast du ja schon bewiesen! ... jetzt zu 3.:

E ist co-endlich und F ist endlich. Dann ist FuE ebenfalls co-endlich und somit FuE Element von B. Die differenz F\E ist endlich und daher F\E Element von B ... ist das richtig so ???

Erster Teil richtig. Bei der Differenz: wenn du von (abzählbar-) unendlich vielen Elementen endlich viele wegnimmst, wieviel bleiben über ?

Zitat:

4. Da weiß ich ehrlich gesagt nicht, wie ich rangehen soll!

Bei einer co-endlichen Menge fehlen nur endlich viele Elemente. Wenn du zwei solche Mengen vereinigst, wieviele fehlen dann ?
Wenn du die Differenz bildest: du nimmst alle bis auf endlich viele Elemente weg. Wieviele bleiben über ?

Zitat:

Jetzt zum zweiten Teil die 2.

Sei H ... Dann ist H=U (index x Element H x. Somit ist x Element H. Das ist eine endliche Menge und sei b das Komplement von x, dann ist H co-abzählbare Menge aus B ... ich glaub das ist falsch! ... oder ???

Das ist etwas kniffliger. Es soll eine co-abzählbare Menge H dargestellt werden, d.h. der Menge fehlen abzählbar viele Elemente.

Jetzt betrachte 2 Dinge:

- ein verallgemeinertes De-Morgan-Rechengesetz: $\begin{eqnarray*} (\bigcup_{i \in \mathbb N} J_i)^c = \bigcap_{i \in \mathbb N} J_i^c \end{eqnarray*}$ , siehe hier.

- die "co-singletons $\begin{eqnarray*} \{x\}^c = X \setminus \{x\} \end{eqnarray*}$

Wenn nun $\begin{eqnarray*} H = x \setminus \{x_i : i \in \mathbb N\} \end{eqnarray*}$ , so gilt:

$\begin{eqnarray*} H = \bigcap_{i \in \mathbb N} \{x_i\}^c = (\bigcup_{i \in \mathbb N} \{x_i\})^c \end{eqnarray*}$ .

Damit ist H als Verknüpfung von Elementen aus B mit den Operationen abz. Vereinigung und Komplement dargestellt.

Grüße Abakus smile

13.06.2006, 22:40

Susanne

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"Erster Teil richtig. Bei der Differenz: wenn du von (abzählbar-) unendlich vielen Elementen endlich viele wegnimmst, wieviel bleiben über ?" ... wie erstes Teil richtig? ...

Es müsste wieder unendlich viele über bleiben. ... Was muss ich jetzt da aufschreiben?

"Bei einer co-endlichen Menge fehlen nur endlich viele Elemente. Wenn du zwei solche Mengen vereinigst, wieviele fehlen dann ?
Wenn du die Differenz bildest: du nimmst alle bis auf endlich viele Elemente weg. Wieviele bleiben über ?"

Differenz: es müssten endlich viele Elemente über sein! ... oder ? Wie schreibe ich das alles auf ??? ... ich komm nicht wirklich damit klar, mein Problem ist, dass ich das nicht beweisen kann!

13.06.2006, 23:03

Abakus

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Zitat:

Original von Susanne
"Erster Teil richtig. Bei der Differenz: wenn du von (abzählbar-) unendlich vielen Elementen endlich viele wegnimmst, wieviel bleiben über ?" ... wie erstes Teil richtig? ...

Es müsste wieder unendlich viele über bleiben. ... Was muss ich jetzt da aufschreiben?

Schreibe es einfach so exakt auf, wie du kannst. Übung macht die Meisterin.

Zitat:

"Bei einer co-endlichen Menge fehlen nur endlich viele Elemente. Wenn du zwei solche Mengen vereinigst, wieviele fehlen dann ?
Wenn du die Differenz bildest: du nimmst alle bis auf endlich viele Elemente weg. Wieviele bleiben über ?"

Differenz: es müssten endlich viele Elemente über sein! ... oder ? Wie schreibe ich das alles auf ??? ... ich komm nicht wirklich damit klar, mein Problem ist, dass ich das nicht beweisen kann!

Richtig, ja. Zur klareren Vorstellung kannst du dir zB eine Zeichnung machen (zwei Mengen mit endlich vielen Lücken o.ä.).

Beim Aufschreiben ist zunächst die Grobstruktur wichtig: du brauchst eine klare Gliederung, das könnten zB deine einzelnen Behauptungen sein, die du dann beweist. Elementare Schlüsse brauchst du nicht mehr beweisen.

Ansonsten schau dir andere Beweise hier im Bord oder in deinem Skript oder in Büchern an. Und: das Aufschreiben braucht einige Zeit.

Grüße Abakus smile

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