Parabel und Kreis

12.06.2006, 15:07	anyx	Auf diesen Beitrag antworten »
Parabel und Kreis Guten Tag. Die Aufgabe lautet, eine Parabel und nen Kreis zu schneiden und dann den Schnittwinkel zu bestimmen. Das ist im Grunde kein Problem doch ist mir bei der Rechnung etwas aufgefallen. Wenn ich die Parabel $\begin{eqnarray} y^2=9x \, \text{mit dem Kreis} \, k[(0\|0); 6] \, \text{bzw.} \, k: \, x^2 + y^2 =36 \end{eqnarray}$ schneide, dann bekomme ich die x-Werte $\begin{eqnarray} x_1 = 3, \, x_2 = -12 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ ist zwar richtig, aber der 2. x-Wert ist falsch und liegt sogar ausserhalb des Radius! Wie kann das sein? Mein Rechenweg: $\begin{eqnarray} par: \, y^2=9x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k: \, x^2 + y^2 = 36 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} par \cap k: x^2 + 9x = 36 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{1,2}= - \frac{9 \pm \sqrt{255}}{2}= \frac{-9 \pm 15}{2} \end{eqnarray}$ Bitte, kann jemand für mich den Fehler suchen bzw. sagen, wieso da -12 rauskommen kann, denn ich steh momentan wirklich aufm Schlauch. Danke. lg, anyx
12.06.2006, 15:21	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Parabel und Kreis ?????????????? 1/2(-9-12)=1/2(-24)=-12 echter leitungsbruch, da stehst mit beiden beinen auf dem schlauch, und das ganz fest! werner
12.06.2006, 15:27	anyx	Auf diesen Beitrag antworten »
Das da -12 rauskommt, weiss ich schon, habs ja selbst oben ausgerechnet bzw. als Lösung hingeschrieben. Ich hab mich wohl falsch ausgedrückt. Meine Frage ist, wieso bei dieser Rechnung eine Lösung rauskommen kann, die gar keine ist, denn einen Punkt (-12\|y) liegt weder aufm Kreis noch auf der Parabel. Wenn ich aber Kreis und Parabel schneide, wie kann dann eine derartige Lösung rauskommen???
12.06.2006, 15:29	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein schönes Beispiel, das zeigt, was passieren kann, wenn man die sichere Ebene der Linearität verläßt. Du suchst einen Punkt, der zwei Bedingungen erfüllt: $\begin{eqnarray} \text{(I)} \ \ x^2 + y^2 = 36 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{(II)} \ \ y^2 = 9x \end{eqnarray}$ Und durch Einsetzen bekommst du die korrekte Bedingung $\begin{eqnarray} \text{(III)} \ \ x^2 + 9x - 36 = 0 \end{eqnarray}$ Logisch heißt das $\begin{eqnarray} \text{(I)} \wedge \text{(II)} \ \Rightarrow \text{(III)} \end{eqnarray}$ Und wer sagt nun, daß auch das Umgekehrte gelten muß? Und offenbar ist es hier gerade einmal so, daß die Umkehrung falsch ist. Fazit: Beim Ineinandereinsetzen immer nachträglich die Probe machen. Und die schließt dann $\begin{eqnarray} x=-12 \end{eqnarray}$ aus. Übrigens sieht man schon an der Bedingung $\begin{eqnarray} y^2 = 9x \end{eqnarray}$ , daß $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ nicht negativ sein kann.
12.06.2006, 15:32	anyx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, Danke für die schnelle Hilfe und verständliche Erklärung
12.06.2006, 15:42	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann das übrigens noch schlimmer treiben: $\begin{eqnarray} \text{(I)} \ \ x^2 + y^2 = -4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{(II)} \ \ 2x^2 + y^2 = -3 \end{eqnarray}$ Indem man $\begin{eqnarray} \text{(I)} \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} y^2 \end{eqnarray}$ auflöst und in $\begin{eqnarray} \text{(II)} \end{eqnarray}$ einsetzt, bekommt man $\begin{eqnarray} \text{(III)} \ x^2 = 1 \end{eqnarray}$ Also wieder: Wenn es einen Punkt gibt, der $\begin{eqnarray} \text{(I)} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \text{(II)} \end{eqnarray}$ zugleich erfüllt, dann muß er auch $\begin{eqnarray} \text{(III)} \end{eqnarray}$ erfüllen, er kann also nur die $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Koordinaten $\begin{eqnarray} \pm 1 \end{eqnarray}$ haben. Jetzt gibt es aber nicht einmal einen Punkt, der $\begin{eqnarray} \text{(I)} \end{eqnarray}$ erfüllt, und auch nicht einen, der $\begin{eqnarray} \text{(II)} \end{eqnarray}$ erfüllt.
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