Konvergenz der Betafunktion

12.06.2006, 15:22

lego

Konvergenz der Betafunktion

Hallo

ich soll die konvergenz der betafunktion zeigen, da das ein vermutlich sehr viel besprochenes thema ist, wollte ich mal direkt fragen, ob hier jemand vielleicht einen guten link dazu hat. hab bereits gegoogelt aber nichts ansprechendes gefunden.

falls niemand einen link hat, wäre ich natürlich auch für einen tip dankebar. hab bis jetzt nur gefunden, dass man das integral in 2 teile teilt

0-0,5 und 0,5-1 aber ich weiß nicht so ganz warum

12.06.2006, 17:19

mercany

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Moin lego!

Eventuell hilft:
http://www.iadm.uni-stuttgart.de/LstAnaM...a2/node106.html

Gruß, mercany

12.06.2006, 17:28

lego

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hehe, ich muss sagen, genau von dort habe ich das mit dem aufteilen des integrals in 2 teile.

aber ich muss sagen, damit komm ich nur schwer klar, einerseits scheinen die abschätzungen vom himmel gefallen zu sein, andererseit, weiß ich nicht, warum die genau bei 1/2 einen schnitt machen.

unten dann wird das majorantenkriterium für integrale verwendet oder?

12.06.2006, 17:55

mercany

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Ich hab da nur nebenläufig etwas zu gelesen, kann daher nicht weiterhelfen.

$\begin{eqnarray*} B(x;y) = \int_{0}^{1}~z^{x-1}(1-z)^{y-1}~dz \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} 0 < x< 1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 0 < y < 1 \end{eqnarray*}$ wird der Integrand bei $\begin{eqnarray*} z = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z = 1 \end{eqnarray*}$ unendlich.

Im Forster wird die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} z^{x-1} \end{eqnarray*}$ mittels der Abschätzung $\begin{eqnarray*} a \cdot z^{x-1}, a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ nach oben gezeigt. (Für $\begin{eqnarray*} I = [0;\frac{1}{2}] \end{eqnarray*}$ )

Beachte, das $\begin{eqnarray*} (1-z)^{y-1} \end{eqnarray*}$ im angebenen Intervall stetigt und somit auch beschränkt ist.

Für das Intervall $\begin{eqnarray*} [\frac{1}{2};1] \end{eqnarray*}$ substituiere $\begin{eqnarray*} z = 1-z \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ vertauschen dadurch die Position) und schätze genauso ab.

edit: Mittels Majorantenkriterium lässt sich zeigen, dass es für $\begin{eqnarray*} z = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z = 1 \end{eqnarray*}$ als uneigentliches Riemann-Integral existiert, ja.

Gruß, mercany

12.06.2006, 22:52

quarague

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je nach Stand der Vorkenntnisse könnte man die Betafunktion auch über die $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ -Funktion darstellen und dann verwenden, das die $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ -Funktion auf ganz IC ohne die negativen ganzen Zahlen definiert ist.

13.06.2006, 12:04

lego

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Zitat:

Original von quarague
je nach Stand der Vorkenntnisse könnte man die Betafunktion auch über die $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ -Funktion darstellen und dann verwenden, das die $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ -Funktion auf ganz IC ohne die negativen ganzen Zahlen definiert ist.

ja danke, so hab ichs dann auch gemacht

$\begin{eqnarray*} B(p,q)=\frac{\Gamma (p) * \Gamma (q)}{\Gamma (p+q)} \end{eqnarray*}$

alle teile konvergent => Betafunktion konvergent

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