Hyperbel: Tangente

10.09.2008, 08:20

eierkopf1

Hyperbel: Tangente

Hallo!

Ich versuche gerade die Tangente einer Hyperbel auszurechnen:

$\begin{eqnarray*} hyp: x^2 -y^2=16 \end{eqnarray*}$

im Punkt $\begin{eqnarray*} P(5/3) \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass ich es mit der Ableitung auch lösen könnte.

Aber ich will es mit der Spaltform lösen:
$\begin{eqnarray*} t: b^2 x_P x - a^2 y_P y = a^2 b^2 \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie passt da etwas mit $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$ nicht.
Aus der Hyperbelgleichung lese ich $\begin{eqnarray*} a^2 = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b^2 =1 \end{eqnarray*}$ ab. Jedoch bringt das nicht die richtige Tangente, weil eingesetzt komme ich dann auf:

$\begin{eqnarray*} 5x-3y=16 \end{eqnarray*}$

Jedoch sehe ich auch, dass auf der rechten Seite der Hyperbel $\begin{eqnarray*} 1*1 \neq 16 \end{eqnarray*}$ ergibt.

Wie komme ich auf die Tangentengleichung?

mfg

10.09.2008, 09:00

riwe

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RE: Hyperbel: Tangente

Zitat:

Original von eierkopf1
Hallo!

Ich versuche gerade die Tangente einer Hyperbel auszurechnen:

$\begin{eqnarray*} hyp: x^2 -y^2=16 \end{eqnarray*}$

im Punkt $\begin{eqnarray*} P(5/3) \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass ich es mit der Ableitung auch lösen könnte.

Aber ich will es mit der Spaltform lösen:
$\begin{eqnarray*} t: b^2 x_P x - a^2 y_P y = a^2 b^2 \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie passt da etwas mit $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$ nicht.
Aus der Hyperbelgleichung lese ich $\begin{eqnarray*} a^2 = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b^2 =1 \end{eqnarray*}$ ab. Jedoch bringt das nicht die richtige Tangente, weil eingesetzt komme ich dann auf:

$\begin{eqnarray*} 5x-3y=16 \end{eqnarray*}$

Jedoch sehe ich auch, dass auf der rechten Seite der Hyperbel $\begin{eqnarray*} 1*1 \neq 16 \end{eqnarray*}$ ergibt.

Wie komme ich auf die Tangentengleichung?

mfg

$\begin{eqnarray*} a=b=\frac{1}{4}\neq 1 \end{eqnarray*}$

die gleichung der tangente sollte also stimmen

10.09.2008, 09:12

eierkopf1

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RE: Hyperbel: Tangente
Danke für die Antwort!

Ich habe es gerade nochmal versucht und es stimmt. Wink

Gestern in der Nacht habe ich wohl beim Zeichnen der Tangente einen Fehler gemacht Hammer

Eine Frage noch:
Die Tangente einer Parabel lautet: $\begin{eqnarray*} -0.9x+3y=4.5 \end{eqnarray*}$

Berechne den Schnittwinkel.

Ich kann jetzt von beiden Tangenten einfach die Normalvektoren ablesen und berechne daraus den Winkel.

Ich erhalte als Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \phi_1= 137.67° \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \phi_2= 42.33° \end{eqnarray*}$

Sollte stimmen, oder?

mfg

10.09.2008, 10:55

mYthos

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Es sind nirgends zwei Tangenten zu sehen!

mY+

10.09.2008, 11:09

eierkopf1

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Die eigentliche Fragestellung lautete so:

Berechne den Schnittwinkel der beiden Kurven (Hyperbel und Parabel). Schnittpunkt ist $\begin{eqnarray*} P(5/3) \end{eqnarray*}$

Die beiden Tangenten sind korrekt:
$\begin{eqnarray*} t_{par}: -0.9x +3y =4.5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_{hyp}: 5x -3y =16 \end{eqnarray*}$

Den Schnittwinkel habe ich wie oben beschrieben berechnet.

mfg

10.09.2008, 19:03

riwe

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$\begin{eqnarray*} tan\alpha=|\frac{m_1-m_2}{1+m_1\cdot m_2}|\to\alpha=42.337° \end{eqnarray*}$ Freude

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