Gruppentheorie und Mengenlehre |
| 11.09.2008, 02:35 | Iridium | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Gruppentheorie und Mengenlehre Eine Gruppe kann doch als Menge abstrakter Elemente aufgefasst werden...existieren dann eigentlich in der Gruppentheorie Operationen, die analog zu den auf Mengen anwendbaren sind? Gibt es z.B. gruppentheoretische Entsprechungen für Vereinigungsmenge, Schnittmenge etc., die allgemeingültig sind? Kann man gruppentheoretische Ergebnisse sinnvoll mengentheoretisch reformulieren? |
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| 13.09.2008, 21:15 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Frage ist doch, was du genau tun willst. Die Mengenlehre beschäftigt sich mit Mengen, die Gruppentheorie mit Gruppen. Zunächst zwei verschiedene Schuhe [mal davon abgesehen dass eine Gruppe auch eine Menge ist]. Sinnvolle Fragen können dann eher lauten: Angenommen man hat eine Gruppe und Untergruppen und . Ist eine Gruppe? Ist eine Gruppe? Wie kann man diese sonst zu Gruppen machen? etc etc. |
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| 14.09.2008, 02:43 | Iridium | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, gerade weil eine Gruppe auch eine Menge ist, bin ich ja darauf gekommen. Denn das müsste ja bedeuten, daß man, wenn auch nicht alle, aber doch bestimmte gruppentheoretische Ergebnisse mengentheoretisch beschreiben kann. D.h. in einer mathematisch äquivalenten Form, die aber, je nach Problem, umständlicher oder sogar einfacher sein kann, als die ursprüngliche Formulierung. Das mit den Untergruppen ist auch das, woran ich dachte...d.h. Operationen, die aus einer Menge von Gruppen neue Gruppen erzeugen, sowas wie z.B. das direkte Produkt o.ä. Die Frage wär also, wenn man Gruppen schon als Mengen definiert, kann man dann nicht auch vorteilhaft mengentheoretische Konzepte darauf anwenden, die vielleicht dann in der Gruppentheorie nur unter einem anderen Namen gebräuchlich sind? Mir ist zumindest sowas bisher nicht aufgefallen und ich frag mich jetzt, ob es das allgemein nicht gibt, oder ob nur ich persönlich bisher zuwenig in der Richtung verstanden habe. |
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| 14.09.2008, 13:22 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich glaube ich verstehe was du meinst. Das Hauptptoblem ist folgendes: Das Konzept einer Menge ist so allgemein, dass da quasi alles drunterfällt, eben eine Anordnung von Dingen. Eine Gruppe ist natürlich auch eine Menge, aber mit einem entscheidenden Unterschied: Sie hat Struktur! Eine Menge an und für sich hat das nicht. Wenn man das so sehen will, fängt man beim chaotischsten Zustand an, eben dem einer Menge, und versucht Ordnung in Form von Struktur hineinzubringen, wie am Beispiel der Gruppe. Das mit dem direkten Produkt etc, das findest du in Algebra Büchern zuhauf. Und natürlich wird wohl auch immer wieder danach gefragt, ob Vereinigungen und Schnitte von Gruppen auch wieder Gruppen sind. Nur die Mengenkonzepte an und für sich sind mMn zu schwach um wirklich was interessantes in der Gruppentheorie formulieren zu können. Denn wie gesagt: Eine Gruppe ist viel mehr als eine Menge ! Was die Umformulierung betrifft: Ich könnte mir vorstellen dass man das bewerkstelligen könnte, denn die Mengenlehre ist das Fundament, aber das wird dann mit Sicherheit äusserst kompliziert und vor allen Dingen unklar und undurchsichtig. |
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| 17.09.2008, 11:39 | Iridium | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also eher so wie die "Principia mathematica" von Russell und Whitehead. Logisch astrein definierte Mathematik und dabei selbst bei einfachsten Theoremen (1+1=2) abstrakt bis zur Unverständlichkeit :-). Ok, deine Erklärung erscheint mit sehr sinnvoll, danke dafür. Gruß |
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| 17.09.2008, 12:35 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In dem Zusammenhang hatte ich noch die Idee, dass es innerhalb der Kategorientheorie solche "Querverbindungen" geben könnte, aber das weiss ich nicht, da müsste jemand anderes aushelfen. |
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