quadratische Körpererweiterung

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PsychoCat Auf diesen Beitrag antworten »
quadratische Körpererweiterung
Hallo zusammen!
Zunächst mal die Aufgabe, die ich lösen soll:

Sei KcL eine quadratische Körpererweiterung, der Grad ist also [L:K]=2. Beweisen Sie: Wenn char(k)!=2, dann ist KcL separabel und L isomorph zu K[x]/(x^2+b) für ein b in K

So erstmal, dass KcL separabel ist, bedeutet ja, dass jedes Element in L separabel ist, also das Minimalpolynom keine mehrfachen Nullstellen hat. Da seh ich jetzt aber irgendwie so gar keinen Zusammenhang zum Grad..
Was sagt mir der Grad überhaupt? Der ist gleich der Dimension von L über K.. aber wenn ich L jetzt als Vektorraum auffasse, dann weiß ich nicht was dann die Multiplikation in L ist und erst recht nicht was dann das Minimalpolynom eines Elements ist..
Z.B. ist dann doch eine quadratische Körpererweiterung oder? aber was ist dann (1,0)^2?? geschockt
PsychoCat Auf diesen Beitrag antworten »

Hab noch ein bisschen weiter gegrübelt.. und bin darauf gekommen, dass das Minimalpolynom f=x^2+ax+b Grad 2 haben muss für Elemente aus L und nicht aus K. Daraus folgt, dass KcL separabel ist, weil der führende Koeffizient von f' 2 ist und 2!=0 gegeben war. Warum ist jetzt aber L isomorph zu K[x]/(x^2+b) für bestimmte b? verwirrt
 
 
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

halli hallo

[L:K]=2 sagt dir insbesondere, dass alle Minimalpolynome von Elementen aus L über K[X] den Grad 2 haben.
Insbesondere ist L=K(x) für ein x.

Betrachte nun also ein Minpol. der Form (X+a)(X+b).
Die KE ist inseparabel, wenn a=b ist.....
Was passiert denn für a=b? suche einen Widerspruch.




zu deiner anderen Frage, was ist denn





edit: deine Begründung in deinem weiteren Post verstehe ich nicht

edit: jetzt verstehe ich, wenn du das etwas genauer formulierst, dann kannst du das so machen
es folgt direkt ggT(f.f')=1
PsychoCat Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke erstmal für die antwort smile
zu meinem zweiten post: f ist ja genau dann separabel, wenn die Ableitung f' nicht 0 ist und die Ableitung ist ja 2x+a und da 2 nicht 0 ist, ungleich 0 oder mach ich da was falsch?

Hmm wenn a=b, dann ist das Minimalpolynom nicht mehr irreduzibel oder? Aber warum gilt das nur für char(K)!=2?

Und wenn L=K(a) dann bist L ja isomorph zu K[x]/(f) mit f Minimalpolynom zu a, aber warum hat f für geeignete b die Form x^2+b?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
f ist ja genau dann separabel, wenn die Ableitung f' nicht 0 ist

da hatte ich gehangen, das ist nämlich i.A. falsch.
Das gilt nur, wenn f irreduzibel ist und das ist HIER der Fall, deswegen geht das hier.


Was du nun zeigen musst, dass es ein a in L gibt (beachte, dass jedes a aus L\K L "erzeugt"), für dass a^2 in K liegt.
dann wähle b=-a^2 und du hast das Minpol. X^2+b.







edit: eine Lösung, die mir gerade vorschwebt ist aber nicht soooo elegant.
Vielleicht kannst du mich ja überraschen? smile
PsychoCat Auf diesen Beitrag antworten »

so gestern musste ich einen mathe-freien tag einlegen Augenzwinkern

Ich glaube ich verstehe aber deinen Vorschlag jetzt smile Also wenn ich ein Element a in L ohne K habe, dann ist das Minimalpolynom vom Grad 2 und K(a)=L (wenn zwei Körpererweiterungen den selben Grad haben, dann sind sie gleich?) Nach irgendnem Satz ist dann K(a)=L=K[x]/(f) wenn f das Minimalpolynom von a ist. Wenn ich jetzt ein Element in L ohne K habe mit a² in K, dann ist das Minimalpolynom hierfür ja x²-a² und ich wäre fertig smile

Das Problem ist jetzt nur, dass ich bisher noch keinen Ansatz gefunden habe zu beweisen, dass so etwas existiert.. In der nächsten Aufgabe ist char(K)=2 und da kann man den linearen Faktor nicht mehr loswerden, also gehe ich mal davon aus, dass es eben nur dann so ein Element gibt, wenn char(K)!=2.. Aber was weiß ich denn über Elemente in L überhaupt? Eigentlich nur, dass ihr Minimalpolynom Grad 2 hat verwirrt
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
(wenn zwei Körpererweiterungen den selben Grad haben, dann sind sie gleich?)

nö; wenn sie über dem gleichen Grundkörper liegen und gleiche Erw.grad haben sind sie isomorph
aber das brauchst du hier beides nicht und ich weiß nicht genau, wie du jetzt drauf kommst?

Tipp von mir: Wähle ein allgemeines Element b aus L, in der Schreibweise mit dem a! verwende eine analoge Schreibweise für das a^2!
Berechne nun a^2, indem nur noch ....a+... vorkommt und schaue, wann der .... vor dem a 0 wird.
Achja: beachte natürlich, dass der a-Anteil von b echt ungleich 0 sein muss und sowas.
PsychoCat Auf diesen Beitrag antworten »

Habs mir noch nicht angesehen, werd ich gleich aber tun. smile
Ähm was meinst du mit "der Schreibweise mit dem a"..? verwirrt
Irgendwie fehlt mir so ein gewisses Grundverständnis wie die Elemente in K(a) für ein a aus L aussehen glaub ich.

Erstmal wie ich auf meine Frage in der Klammer komme:
Nach einem Satz aus meiner Vorlesung weiß ich, dass K(a) isomorph ist zu K[x]/(f), ich soll aber zeigen dass L isomorph dazu ist, also brauch ich ja noch, dass K(a) isomorph ist zu L für so ein a, das nicht in K aber in L liegt..
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Die Elemente aus K(a) sind von der Form x+y*a für x,y aus K, denn L ist als zweidimensionaler K-VRm aufzufassen


K(a) ist nicht nur siomorph dazu, e ist L.
Idee dahinter ist an sich klar, du erweiterst K in Schritten zu L, das sei dann eine Kette von Körpern K in K1 in K2... in L von je einfachen KE, aber dann gilt die Multiplikativität der Körpererweiterungsgrade und du stellst fest, dass hier eigentlich schon die erste echte Erweiterung den Körpererweiterungsgrad 2 liefert.
Das die zweite NST des Polynoms zweiten Grades in der KE mit der anderen NST liegt, sollte eigentlich auch klar sein.



Nochmal zu L={x+ya|x,y aus K}
Dann hast du: a^2=x+y*a, fertig wärst du, wenn y=0!
Sonst nimm mal ein l=t+az mit z<>0 her und berechne l^2.
bestimme t,z (evtl natürlich in Abh. von x,y), so dass eben nachher etwas in K rauskommt.
PsychoCat Auf diesen Beitrag antworten »

sorry aber das versteh ich irgendwie noch überhaupt nicht..
ok, L ist ein K-Vektorraum, da komm ich dann wieder auf meine Frage von oben, was ist dann die Multiplikation von zwei Elementen aus L, was ist zb a² für a aus L? Ist das Skalarmultiplikation? In einem Vektorraum ist ja erstmal nur die Multiplikation mit Skalaren aus K erklärt. Wie berechne ich denn dann dein l²? Das wäre t²+2tza+a²z² aber ich weiß nicht was a² als Vektor ist.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ich sags ja, a^2 ist irgendein Element aus a, genaueres wissen wir noch nicht!

Beweis der Darstellung:
es sei f=X^2+cX+d das MP von a
das heißt: a^2+ca+d=0 <=> a^2=-ca-d

deswegen kannst du alle a-Potenzen ab der zweiten als Linkomb. der vorigen a-Potenzen schreiben

HIER: a^2=ax+y als Summe von a^0 und a^1
PsychoCat Auf diesen Beitrag antworten »

So jetzt versteh ich was mehr glaub ich, hab erst noch ne andere konkretere Aufgabe gemacht. Da war dieses Element jedenfalls zum Quadrat wieder im Unterkörper Augenzwinkern

Also warum a^2=x+ya ist versteh ich zumindest, das folgt ja auch schon aus dieser Vektorraum-Darstellung, aber warum dann y=0 sein muss bisher noch nicht unglücklich

Wenn ich ein anderes Element l=t+za nehme und das quadriere, dann hab ich t^2+2tza+z^2a^2 was mich immernoch nicht zu dem Schluss kommen lässt, dass so ein l^2 in K liegt unglücklich
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also warum a^2=x+ya ist versteh ich zumindest, das folgt ja auch schon aus dieser Vektorraum-Darstellung, aber warum dann y=0 sein muss bisher noch nicht

y muss ja nicht 0 sein!
y KANN 0 sein, dann hätten wir a^2=x in K fertig, X^2-x wäre unser Minpol.

wir nehmen natürlich den Worstcase an, nämlich y<>0, also a^2 NICHT in K.
wir konstruieren damit jetzt dieses andere Element l aus L\K, dessen Quadrat dann in K liegt. Wir wissen, dass l auch L erzeugt..... wären damit dann also fertig.

l=t+za mit prinzipiell beliebig wählbaren t und z, für die am Ende l^2 in K liegt.
z darf natürlich nicht 0 sein, sonst wäre l in K!

l^2=(t+za)^2=t^2+z^2a^2+2tza
wir hatten a^2=x+ay (!)

Damit wird l^2 zu t^2+z^2(x+ay)+2tza=?+?a.

Rechne das erst mal aus. Danach versuch mal, ob du (zu festen x,y) nicht t und z geeignet wählen kannst, dass das vor dem a 0 ist.
PsychoCat Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank erstmal für deine Geduld Augenzwinkern

Also wenn ich c so wählen kann, dass 2t=-zy ist, dann würde gelten
l^2=t^2+z^2x+az(zy+2t) =t^2+z^2x
Aber kann ich das denn so wählen..? Das z kann ich ja z.B. nicht einfach 0 wählen.. Wenn ich das kann, hab ichs verstanden denk ich Lehrer

Wenn char(K)=2 ist, dann geht das ja offenbar nicht.. hm dann wäre ja 2t=0 auch schon fest.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

was ist denn plötzlich "c"? Tippfehler?

Es soll zy+2t=0 sein, für ein festes y und ein z <>0.
Wähle doch einfach z=1 und t=......
naja, t rechnest du jetzt auch noch gschwind aus, t hängt von y ab.

smile










edit: 00:25
so Psychokatze, ich geh schlummern; Rest schaffst du dann auch alleine nehme ich an Wink
Mit solchen Aufgaben kannst du liebend gerne wieder mal im Forum auftauchen Augenzwinkern

Schläfer
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