Betrag bei Potenzen

11.09.2008, 15:13

ChaosKrieger

Betrag bei Potenzen

Folgende Aufgabe habe ich vor mit liegen:

Ziehen Sie (sofern möglich) die Wurzel (x>0, y>0)

$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{x^2y^4} \end{eqnarray*}$

gesagt getan: $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} y \end{eqnarray*}$

2. Aufgabe:

Was ergibt sich, wenn man das Vorzeichen der Größen nicht kennt? Tipp:Betrag einer reellen Zahl !

Bahnhof... Ist es nicht vollkommen egal, was für ein Vorzeichen x bzw. y hat?
Wenn ich doch das negative x bzw. y quadriere, dann kann ich doch danach immer die 4. Wurzel ziehen, oder sehe ich das falsch?

Als Ergebnis im Lösungsbuch steht folgendes:

$\begin{eqnarray*} \mid x \mid y \end{eqnarray*}$

nur warum?

11.09.2008, 15:16

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RE: Betrag bei Potenzen

Zitat:

Original von ChaosKrieger
Als Ergebnis im Lösungsbuch steht folgendes:

$\begin{eqnarray*} \mid x \mid y \end{eqnarray*}$

nur warum?

Ja, warum - denn das ist falsch. Richtig wäre

$\begin{eqnarray*} \sqrt{|x|} \cdot |y| \end{eqnarray*}$ .

11.09.2008, 15:35

ChaosKrieger

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ups Entschuldigung.

Genau das steht auch in der Lösung!

Aber, warum brauch ich überhaupt diese Betragszeichen?

11.09.2008, 15:37

Jacques

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RE: Betrag bei Potenzen
Nur als Ergänzung:

Zitat:

Original von ChaosKrieger

Was ergibt sich, wenn man das Vorzeichen der Größen nicht kennt? Tipp:Betrag einer reellen Zahl !

Bahnhof... Ist es nicht vollkommen egal, was für ein Vorzeichen x bzw. y hat?
Wenn ich doch das negative x bzw. y quadriere, dann kann ich doch danach immer die 4. Wurzel ziehen, oder sehe ich das falsch?

Natürlich sind auch negative Werte für x und y erlaubt, nur gilt dann die obige Formel nicht mehr!

Ein ähnliches Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} \end{eqnarray*}$

(für x sollen auch negative Zahlen zugelassen sein)

Man könnte auf den voreiligen Schluss kommen, dass sich das Quadieren und Radizieren einfach „aufhaben“ und deshalb Folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} = x \end{eqnarray*}$

Das ist aber so nicht richtig! Prüfe doch z. B. die Formel mal für x = -1:

Ausrechnen ergibt

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(-1)^2} = \sqrt{1} = 1 \end{eqnarray*}$

Die Formel aber sagt

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(-1)^2} = -1 \end{eqnarray*}$

Also stimmt sie nicht! Der Grund ist, dass das Quadrieren nicht einfach „aufgehoben“ wird. Zwar erhält tatsächlich wieder den ursprünglichen Zahlenwert, wenn man erst quadriert und dann radiziert. Aber beim Quadrieren wird eine negative Zahl positiv -- und sie bleibt es auch nach dem Radizieren.

Deshalb

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} = |x| \end{eqnarray*}$

11.09.2008, 15:48

ChaosKrieger

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ah, okay, ich denke ich habe es kapipert.
Habe noch 2 beispiele und versuche die zu erklären:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4a^2b^3} = 2ab\sqrt{b} \end{eqnarray*}$

hier kann ich keine Betragszeichen setzen.
bei a ist es egal, da sich das aufhebt bei Wurzel aus 2 und Potenz mit 2. Da ist das Wurst. Da dort b hoch 3 steht, ist b<0 gar nicht definiert und wäre so nicht lösbar.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2+2ab+b^2} = a+b \end{eqnarray*}$

hier ist es ähnlich, wie beim ersten Beispiel oben:

$\begin{eqnarray*} \mid a+b \mid \end{eqnarray*}$

richtig?

11.09.2008, 15:54

Jacques

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Bei dem ersten Beispiel musst Du natürlich Betragsstriche beim Auflösen von

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2} \end{eqnarray*}$

setzen! Es gilt ja gerade nicht, dass „sich das aufhebt bei Wurzel aus 2 und Potenz mit 2“.

Bei b hast Du recht, b < 0 muss sowieso ausgeschlossen werden, also kann man auf die Betragsstriche verzichten.

Beim zweiten Beispiel

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2 + 2ab + b^2} = \sqrt{(a + b)^2} = |a + b| \end{eqnarray*}$

Hier muss wieder der Betrag gebildet werden.

Als Tipp: Schreibe erstmal immer die Betragsstriche hin. Du kannst ja dann im nächsten Schritt überlegen, ob sie nicht überflüssig sind.

11.09.2008, 16:05

ChaosKrieger

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Also, folgendes ist mir schon klar:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} = \pm x \end{eqnarray*}$

Setze ich nun -a in die 1. Gleichung ein, dann bekomme ich doch beim quadrieren unter der Wurzel doch auf jeden Fall eine positive Zahl heraus.

Bsp: $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{(-1)^2y^4} = y \end{eqnarray*}$

Da brauche ich doch auch kein Betragszeichen.

PS: tut mir leid, meine letzten Mathe-Aufgaben sind gut 5 Jahre her, versuche mein Mathe bisschen aufzufrischen, da ich doch nochmal anfangen möchte, um zu studieren

11.09.2008, 16:14

Jacques

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Nee, das stimmt immer noch nicht ganz.

Es gilt nicht

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} = \pm x \end{eqnarray*}$

sondern

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} = \begin{cases} x, & \textrm{falls } x \geq 0\\ -x, & \textrm{falls } x < 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Oder eben einfach

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} = |x| \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von ChaosKrieger

Setze ich nun -a in die 1. Gleichung ein, dann bekomme ich doch beim quadrieren unter der Wurzel doch auf jeden Fall eine positive Zahl heraus.

Ja, genau, und das musst Du auch in der Formel umsetzen!

Teste doch einfach mal Dein Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4a^2b^3} = 2ab\sqrt{b} \end{eqnarray*}$

Sei a = -1, b = 1

Die (falsche) Regel ergibt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4 \cdot (-1)^2 \cdot (1)^3} = 2 \cdot (-1) \cdot 1 \cdot \sqrt{1} = -2 \end{eqnarray*}$

In Wahrheit gilt aber

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4 \cdot (-1)^2 \cdot (1)^3} = \sqrt{4} = 2 \end{eqnarray*}$

Also stimmt da doch was nicht.

11.09.2008, 16:29

ChaosKrieger

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Ich glaube ich habe es verstanden:

Ich fasse nochmal kurz zusammen:

$\begin{eqnarray*} 5^2 = 25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-5)^2 = 25 \end{eqnarray*}$

aber

$\begin{eqnarray*} \sqrt{25} = 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{25} \neq -5 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \sqrt{25} = \mid -5 \mid \end{eqnarray*}$

11.09.2008, 16:31

Jacques

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Richtig.

Nur um es nochmal zu sagen: Als Wurzel aus einer (nichtnegativen) reellen Zahl a bezeichnet man diejenige nichtnegative reelle Zahl b, für die gilt: b² = a.

Deswegen eben

$\begin{eqnarray*} \sqrt{25} \neq - 5 \end{eqnarray*}$

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