lagrange interpolation

14.06.2006, 01:14	ArminTempsarian	Auf diesen Beitrag antworten »
lagrange interpolation Es ist zwar schon etwas spät, aber vielleicht erbarmt sich um diese nachtschlafene Stunde noch jemand und erklärt mir, wieso die n Lagrange-Polynome eine Basis für den P_n-1(IR), also den Vektorraum der Polynomfunktionen vom Grad n-1 bilden. Und wieso liefert mir die Lagrange-Interpolation eine andere Funktion als die Lösung mit der Vandermonde-Matrix, bzw. wieso sieht die Inverse Matrix der Lagrange-Basis nur fast so aus wie die Vandermonde-Matrix (wieso überhaupt?!). Fragen über Fragen... Hab morgen Prüfung, deshalb dieser verzweifelte Versuch, Gehör zu finden.
14.06.2006, 09:52	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lagrange interpolation Ich hoffe es läuft gut für Dich. Falls die rpüfung erst am mittag ist... Also wenn du zu gegebenen Daten das Interpolationspolynom bestimmst, dann ist dieses eindeutig. Das heisst, die Verfahren liefern das IP in unterschiedlicher Gestalt, aber wenn du die ausmuliplizierst kommt immer dassaelbe raus.
14.06.2006, 20:05	ArminTempsarian	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lagrange interpolation Is zum Glück nicht zur Prüfung gekommen! (Hab ne 1, herrlich!) Trotzdem bleibt das Problem (meiner Meinung nach): Die Polynome sind nicht nur "von verschiedener Gestalt" (was meinst du damit). Sie sind tatsächlich verschieden (können es zumindest sein)! Das Lagrange-Polynom ist ja nur in der "Lagrange-Basis" eindeutig bestimmt. Wie gesagt, das Polynom, das man herausbekommt, wenn man den "Datenvektor" (rechte Seite des GLS) mit der Inversen der Vandermonde-Matrix multipliziert, kann ein vom Lagrange-Polynom verschiedenes sein. Ich wollte also nur wissen, wie die beiden zusammenhängen und wieso das so ist.
14.06.2006, 20:34	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lagrange interpolation Ohne Prüfung ne eins - das hätte ich auch gerne :-) Gib mir doch mal ein konkretes Beispiel an, wo sich deiner Meinung nach die Dinge unterscheiden. ich weiß nur aus Numerik I - das wir mit unterschiedlichen Verfahren, das IP zu gegebenen Daten berechent haben. Da kommt aber jedesmal das gleiche raus. Vandermonde hat man da gerne benutzt um die Existent und Eindeutigkeit zu zeigen. Die matrix ist nämlich regulär und das LGS was bei der suche des IP entsteht besitzt somit eine eindeutige Lösung. Gruß
14.06.2006, 20:55	ArminTempsarian	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lagrange interpolation OK, also konkretes Beispiel. Ich hoff ich hab mich nicht verrechnet. f(2)=1 f(3)=2 f(-2)=5 Die Vandermonde-Matrix davon ist doch: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 9 \\ 1 & -2 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn ich das Gleichungssystem löse, komm ich auf den Koeffizientenvektor (7/5, -1, 2/5) Wenn ich aber die 3 Lagrange Polynolme berechne, komme ich auf $\begin{eqnarray} L_1 = -1/4x^2+1/4x+3/2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L_2 = 1/5x^2-4/5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L_3 = 1/24x^2-5/24x+1/4 \end{eqnarray}$ Wenn ich das als Matrix anschreibe habe ich demnach: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3/2 & -4/5 & 1/4 \\ 1/4 & 0 & -5/24 \\ -1/4 & 1/5 & 1/24 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ multipliziert man diese Matrix mit dem Datenvektor (der rechten Seite des gleichungssystems) erhält man als Koeffizientevektor (23/20, -19/24, 43/120) Die Inverse dieser Matrix ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 9 \\ 6/5 & -12/5 & 24/5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ also nicht die ursprüngliche Vandermonde-Matrix des linGLS. Ich habe also 2 verschiedene Polynome, die aber beide die Stützstellen enthalten. EDIT: Ich möchte mich tausendfach entschuldigen. Rechenfehler. Entschuldigung für diese schamlose Belästigung. Ich bin ein Arsch. Vielen Vielen Dank für den Hilfeversuch trotzdem
14.06.2006, 21:38	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lagrange interpolation Dann hhätte ich mir das nachrechnen ja schenken können Aber Rechenfehler passieren uns allen
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14.06.2006, 21:42	ArminTempsarian	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lagrange interpolation Ja, tut mir echt leid. Aber tröste dich. Durch deinen bohrenden Zweifel hast du mich dazu genötigt, das alles zu überdenken, und einzusehen, dass das Polynom durch diese Punkte doch eindeutig bestimmt ist. Ist doch auch was, oder?!
14.06.2006, 21:47	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lagrange interpolation Jo, wenn meine Zweifel auch noch zu einem Tor für uns führen, wäre das nopch besser So kann ich in der Tippgemeinschft nie aufholen Viel Erfolg weiterhin

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