limessuperior - quotientenkrit.

11.09.2008, 22:34

limessuperior

limessuperior - quotientenkrit.

Hallo
bei Wikipedia steht, dass für das Quotientenkriterium folgendes:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} sup|\frac{a_{n+1}}{a_n}|<1 \end{eqnarray*}$ konvergent

wozu braucht man den limessuperior für Zahlenreihen? bzw worin unterscheidet er sich denn vom normalen limes in bezug auf zahlenreihen? Für Zahlenreihen gibt es doch nur ein Grenzwert und nicht verschiedene,sodass man das max nehmen muss.

11.09.2008, 22:36

Dual Space

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RE: limessuperior - quotientenkrit.
Schau dir dafür am besten mal die Folge

$\begin{eqnarray*} a_n=(-1)^n(1-\tfrac{1}{n}) \end{eqnarray*}$

an. Bestimme also den Limes Superior und das Maximum, sofern diese existieren.

11.09.2008, 22:55

limessuperior

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ich würde sagen sowohl limessuper als auch das max liegen bei 1.
ich kenne leider nicht die genaue defintion vom limessuperior (und wie man ihn genau bildet), sondern nur dass er der größte Grenzwert sein soll...

aber worin liegt der unterschied hierzu?
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} |a_n| = 1 \end{eqnarray*}$

12.09.2008, 08:36

klarsoweit

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In diesem Fall gibt es vom Ergebnis her keinen Unterschied. Als Beispiel ist diese Folge ganz nett:

$\begin{eqnarray*} a_n = \begin{cases}1 & \text{für } \sqrt n \text{ rational} \\ 0 & \text{für } \sqrt n \text{ irrational} \end{cases} \end{eqnarray*}$

12.09.2008, 09:09

Dual Space

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Zitat:

Original von limessuperior
ich würde sagen sowohl limessuper als auch das max liegen bei 1.
ich kenne leider nicht die genaue defintion vom limessuperior (und wie man ihn genau bildet), sondern nur dass er der größte Grenzwert sein soll...

aber worin liegt der unterschied hierzu?
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} |a_n| = 1 \end{eqnarray*}$

Zum einen exisitiert das Maximum nicht. Zum zweiten konvergiert die vorgeschlagene Folge nicht.

12.09.2008, 10:24

limessuperior

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@dualspace
kannst du vielleicht dann mal genau sagen, wie der limessuperior gebildet wird?

@klarsoweit
ok also mitm normalen limes weiss ich garnet was der Grenzwert sein soll, ist unendlich rational oder irrational?
Limessuperior ist 1, da es der maximale Grenzwert ist?

Kann mich jemand mal über den limessuperior aufklären?