Würfel: Inkugel, Umkugel

12.09.2008, 08:13

eierkopf1

Würfel: Inkugel, Umkugel

Hallo!

Es war folgender Würfel zu berechnen (Das war auch eigentlich kein Problem):

$\begin{eqnarray*} A(1/2/3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B(5/6/5) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C(7/2/9) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D(3/-2/7) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E(-3/4/7) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(1/8/9) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} G(3/4/13) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} H(-1/0/11) \end{eqnarray*}$

"Berechne den Winkel zwischen Raumdiagonale und Seitenfläche eines Würfels!"

Das habe ich so gelöst: Den Winkel zwischen AG (Raumdiagonale) und AC (Diagonale der Seitenfläche). Stimmt das? Ich war mir nicht sicher, zwischen welchen Längen ich den Winkel berechnen sollte.
Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} \alpha=35.26° \end{eqnarray*}$

Weitere Aufgabe:
"Gib jeweils eine Gleichung für die Inkugel und die Umkugel des Würfls ABCDEFGH an! Wie viel Prozent des Würfelvolumens nimmt die Inkugel ein?"

Ich denke, dass geht so:
Der (Mittel)punkt des Würfels (an dem sich die beiden Raumdiagnalen schneiden) ist gleichzeitig der Mittelpunkt der beiden Kugeln.
Der Radius der Inkugel ist die Länge vom Würfelmittelpunkt bis zum Schnittpunkt der beiden Diagonalen einer Seitenfläche. Oder?
Der Radius der Umkugel ist die Länge vom Würfelmittelpunkt bis zu einem Eckpunkt zB die Länge MA. Oder?

Damit könnte ich die Kugelgleichungen aufstellen.

Das berechnen der Volumina sollte eigentlich kein Problem sein, da ich ja die Radien der Kugeln und die Seitenlängen des Würfels kenne.

Stimmt das soweit?

mfg

12.09.2008, 08:42

klarsoweit

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RE: Würfel: Inkugel, Umkugel
Ja.

12.09.2008, 12:18

eierkopf1

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RE: Würfel: Inkugel, Umkugel
Danke!

Freude

mfg

12.09.2008, 22:20

riwe

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RE: Würfel: Inkugel, Umkugel

Zitat:

Original von eierkopf1
Hallo!

Es war folgender Würfel zu berechnen (Das war auch eigentlich kein Problem):

$\begin{eqnarray*} A(1/2/3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B(5/6/5) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C(7/2/9) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D(3/-2/7) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E(-3/4/7) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(1/8/9) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} G(3/4/13) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} H(-1/0/11) \end{eqnarray*}$

"Berechne den Winkel zwischen Raumdiagonale und Seitenfläche eines Würfels!"

Das habe ich so gelöst: Den Winkel zwischen AG (Raumdiagonale) und AC (Diagonale der Seitenfläche). Stimmt das? Ich war mir nicht sicher, zwischen welchen Längen ich den Winkel berechnen sollte.
Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} \alpha=35.26° \end{eqnarray*}$

Weitere Aufgabe:
"Gib jeweils eine Gleichung für die Inkugel und die Umkugel des Würfls ABCDEFGH an! Wie viel Prozent des Würfelvolumens nimmt die Inkugel ein?"

Ich denke, dass geht so:
Der (Mittel)punkt des Würfels (an dem sich die beiden Raumdiagnalen schneiden) ist gleichzeitig der Mittelpunkt der beiden Kugeln.
Der Radius der Inkugel ist die Länge vom Würfelmittelpunkt bis zum Schnittpunkt der beiden Diagonalen einer Seitenfläche. Oder?
Der Radius der Umkugel ist die Länge vom Würfelmittelpunkt bis zu einem Eckpunkt zB die Länge MA. Oder?

Damit könnte ich die Kugelgleichungen aufstellen.

Das berechnen der Volumina sollte eigentlich kein Problem sein, da ich ja die Radien der Kugeln und die Seitenlängen des Würfels kenne.

Stimmt das soweit?

mfg

mit der berechnung des winkels, den die raumdiagonale mit einer (beliebigen)seitenfläche einschließt, bin ich nicht wirklich einverstanden.
was du berechnet hast, ist der winkel zwischen raum- und (seitenflächen)idagonale.

üblicherweise bestimmt man den gesuchten winkel so:

$\begin{eqnarray*} sin\alpha=\vec{d}_0\cdot\vec{n}_0 \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \vec{d}_0 \end{eqnarray*}$ der normierte raumdiagonalenvektor und $\begin{eqnarray*} \vec{n}_0 \end{eqnarray*}$ ein normierter normalenvektor einer seitenfläche bzw. der diese enthaltenden ebene ist, und da finde ich auf anhieb keinen, der die richtung $\begin{eqnarray*} (1/0/1)^T \end{eqnarray*}$ hat.
aber wer weiß das schon so genau verwirrt

vielleicht solltest du eh den winkel zwischen den beiden diagonalen berechnen verwirrt

für den rest Freude

13.09.2008, 12:12

eierkopf1

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RE: Würfel: Inkugel, Umkugel
Danke für die Antwort!

Ich habe leider keine angegebene Lösung. Aber deine Methode scheint logisch.

Nur warum rechnest du mit $\begin{eqnarray*} \sin \alpha \end{eqnarray*}$ anstatt mit $\begin{eqnarray*} \cos \alpha \end{eqnarray*}$ ?

14.09.2008, 11:42

riwe

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RE: Würfel: Inkugel, Umkugel
smile

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Würfel: Inkugel, Umkugel

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