Extremalproblem Sportplatz |
| 14.06.2006, 23:50 | andyxt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Extremalproblem Sportplatz ich habe eine Klausur in Mathe geschrieben. Dort kam eine Aufgabe vor, die ich nicht lösen konnte und sonst auch nur sehr wenige glaub ich. Die Punktanzahl wurde deswegen verringert. Ich hab meine Klausur wieder bekommen und würde nun gerne wissen wie man die Aufgabe lösen kann. Ich bin schon regelrecht am verzweifeln 
Aufgabe: Ein Sportplatz hat die Form eines Rechtecks mit rechts und links angesetzten Halbkreisen. Der Gesamtumfang beträgt 400 Meter. Fertigen Sie zum Sachverhalt eine Skizze an! Welche Werte haben Länge und Breite des Rechtecks, wenn die Fläche des gesamten Sportplatzes maximal sein soll? Ich will einfach wissen wie man die Aufgabe lösen kann, auch wenn es mir nichts mehr bringt. Trotzdem bitte ich euch mir zu Helfen. 
Danke im vor raus. |
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| 15.06.2006, 00:00 | MrPSI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es ist ne Extremwertaufgabe und als solche muss man dort ja ne Haupt- und Nebenbedingung aufstellen. Hauptbedinung ist ja das was extrem werden soll, und Nebenbedingung die Einschränkung. Wie lauten sie in dieser Aufgabe? |
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| 15.06.2006, 00:03 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Extremalproblem Sportplatz Deine Hauptbedingung ist die Formel dessen, was maximal werden soll. Daher musst nun die Flächenformel deines Sportplatzes aufstellen. HB: A = A(2 Halbkreisen) + A(Rechteck) A = r²*pi + l * b Nun sieht man, wenn du die Gleichung aufstellst, dass das noch keine Funktion ist, weil auf der rechten Seite 3 Unbekannte stehen. Und eine Funktion hast nur dann, wenn auf der rechten Seite eine einzige Unbekannte steht. Daher brauchst du nun eine Nebenbedingung, das heißt eine Formel, in der die Unbekannten der Hauptbedingung und deine gegebene Zahl vorkommen, sodass du dir die Unbekannten so ausdrücken kannst und die Hauptbedingung einsetzen kannst, sodass nur noch eine einzige Unbekannte da drinnen steht. NB: 400 = 2*r* pi + 2 * l und: 2*r = b Das setzt du nun in die Hauptbedingung zurück ein, sodass nur noch eine Unbekannte drin steht, denn dann hast du eine Funktion. Und die brauchst du, damit du die 1. Ableitung bilden kannst, weil man nur Funktionen ableiten darf. Damit A maximal wird, musst du die 1. Ableitung bilden und sie 0 setzen, denn so würdest du ja auch einen Extremwert berechnen. Und dann bekommst du für r, b oder l die Zahl heraus, bei der die Fläche maximal wird. lg kiki |
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| 15.06.2006, 15:04 | andyxt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja das war mir alles schon klar (gut im nach hinein hätte ich das schon vorher hinschreiben können 
). Ich mein bloß was ihr dort als Ergebnis errechnet. Denn mein Ergebnis erscheint mir ein wenig fragwürdig.r = 63,7 b = 127,4 l = -0,1 |
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| 15.06.2006, 15:16 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
l = - 0,1 das ist wohl mehr als fragwürdig 
wie hast du denn das berechnet? 
(bei mir kommt l = 100 raus) werner |
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| 15.06.2006, 20:25 | Voessli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wie wäre es mit einem runden Sportplatz? Ein Kreis hat immer den größten Flächeninhalt bei gegebenem Umfang. |
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| 15.06.2006, 21:06 | andyxt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja ich hab meins noch mal mit ungerundeten Werten gerechnet und dort erhalte ich l = 0 . Dies wäre dann logisch, wenn der Kreis die größte Fläche bei gegebnen Umfang hat.
So habe ich gerechnet: Zielfunktion: A(r) = -PI*r^2 + 400*r 1.Ableitung: A'(r) = -2*PI*r + 400 Mit 0 gleichsetzen und nach r umformen. r=400/2*PI r = 63,7 (gerundet; eigentlich 63,66197724) -> b = 127,4 l = 200-PI*r = 200-PI*63,7 = -0,1 (eigentlich 0, wenn man mit ungerundeten Werten rechnet) Wie haben Sie das denn berechnet? P.S.: 100 würde glaub ich raus kommen, wenn das Rexhteck maximal sein soll. |
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| 15.06.2006, 23:08 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
edit: Ich krieg auch für l = 0 und für b = 400/pi raus. Meiner Meinung nach strebt das die idealste Form an - also einen Kreis. lg kiki edit2: Zur Überprüfung kann man ja in die 2. Ableitung einsetzen, um zu sehen, ob Maximum oder Minimum. Die Funktion ist eine Parabel - nach unten geöffnet und hat daher nur ein Maximum, da die Kurve rechtsgekrümmt ist. |
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| 16.06.2006, 00:54 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Da brauchtest nichts rechnen, wenn die komplette Fläche maximal werden soll gibts bekannterweise ein Kreis. |
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| 16.06.2006, 01:02 | andyxt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich danke euch allen für eure Hilfe. 
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