Quadratische Gleichung lösen

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12.09.2008, 13:05	xSebixx	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratische Gleichung lösen Hallo, Habe folgende Aufgabe: $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2}x² + \frac{1}{4}x = 0 \end{eqnarray}$ Diese Gleichung soll gelöst werden! Weiß nicht so recht wo ich anfangen soll.... danke
12.09.2008, 13:07	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Klammere x aus und wende dann den folgenden Satz an: Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist. Dieses Lösungsprinzip funktioniert natürlich nicht immer. Allgemein muss man quadratische Gleichungen mit der Methode der quadratischen Ergänzung lösen oder einer der beiden Lösungsformeln.
12.09.2008, 13:10	xSebixx	Auf diesen Beitrag antworten »
Was sind die zwei lösungsformel??
12.09.2008, 13:13	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Siehe Wikipedia. Die quadratische Gleichung $\begin{eqnarray} ax^2 + bx + c = 0 \end{eqnarray}$ hat die Lösungen $\begin{eqnarray} x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{eqnarray}$ Die Gleichung $\begin{eqnarray} x^2 + px + q = 0 \end{eqnarray}$ hat die Lösungen $\begin{eqnarray} x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right)^2 - q} \end{eqnarray}$ // Welche Ergebnisse hast Du bei der obigen Aufgabe eigentlich herausbekommen?
12.09.2008, 13:22	xSebixx	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Ich habe jetzt folgendes ausgerechnet: $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2}x² + \frac{1}{4} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2}x² + \frac{1}{4} = 0 /(-2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x² - \frac{1}{2} = 0 /+\frac{1}{16} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x² - \frac{1}{2} + \frac{1}{16} = \frac{1}{16} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x - 0,25)² = \frac{1}{16} /\pm \sqrt{} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x1 = 0,5; x2 = 0 \end{eqnarray*}$ Kann das stimmen????
12.09.2008, 13:28	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist richtig. Wobei ich nicht ganz verstehe, warum Du nach einem Lösungsweg fragst, wenn Du es dann doch so machst, wie Du es Dir überlegt hattest. Mit Ausklammern kommt man übrigens wesentlich schneller zum Ergebnis.
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12.09.2008, 13:50	xSebixx	Auf diesen Beitrag antworten »
Könntest du mir den "Ausklammerungsweg" zeigen??
12.09.2008, 13:52	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuche es doch mal selbst. x ausklammern und danach: Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.
12.09.2008, 13:59	xSebixx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok... $\begin{eqnarray} x(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}x ) = 0 \end{eqnarray}$ In der Aufgabe ist jetzt ersichtlich, dass wenn x = 0 ist das Ergebniss auch 0 ist. Aber wenn eine Gleichung schwieriger wird und es nicht so leicht ist dies sofort zu erkennen, reicht das Ausklammern nicht mehr aus, oder???
12.09.2008, 14:11	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
x = 0 ist aber nur eine Lösung. Wie gesagt, ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist: $\begin{eqnarray} x \left(-\frac{1}{2}x + \frac{1}{4} \right) = 0 \end{eqnarray}$ gilt genau dann, wenn $\begin{eqnarray} x = 0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2}x + \frac{1}{4} = 0 \end{eqnarray}$ Und damit erhältst Du dann beide Lösungen. Das Ausklammern funktionert nur dann, wenn auch in jedem Summanden die Variable x vorkommt. Also bei Gleichungen wie $\begin{eqnarray} x^2 + 2x + 9 = 0 \end{eqnarray}$ kann man es nicht mehr anwenden.

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