Grenzwert über Integral

15.06.2006, 08:22

Sunwater

Grenzwert über Integral

Hi...

ich hab mal ne Frage:

es gilt ja $\begin{eqnarray*} \int ~x^n~dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} ~ \text{ und } \int ~\frac{1}{x} ~ dx= \ln x \end{eqnarray*}$

kann man daraus schlussfolgern, dass:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to -1} \frac{x^{n+1}}{n+1} = \ln x \end{eqnarray*}$ ???

15.06.2006, 08:47

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, es ergibt sich doch ein Bruch der Form $\begin{eqnarray*} \frac{1}{0} \end{eqnarray*}$ und damit gibt es an der Stelle $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ eine Polstelle.

15.06.2006, 09:31

Sunwater

Auf diesen Beitrag antworten »

und warum klappt der Schluss nicht? - müssen ja dann irgendwelche Vorraussetzungen nicht erfüllt sein...

15.06.2006, 10:12

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sunwater
es gilt ja $\begin{eqnarray*} \int ~x^n~dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} ~ \text{ und } \int ~\frac{1}{x} ~ dx= \ln x \end{eqnarray*}$

kann man daraus schlussfolgern, dass:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to -1} \frac{x^{n+1}}{n+1} = \ln x \end{eqnarray*}$ ???

Da ist was Wahres dran, mit einer kleinen Korrektur: Betrachte die zugehörigen bestimmten Integrale

$\begin{eqnarray*} \int\limits_1^x ~ t^{n-1} ~ \mathrm{d}t = \frac{x^n-1}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \int\limits_1^x ~ \frac{1}{t} ~ \mathrm{d}t = \ln(x) \end{eqnarray*}$

dann folgt tatsächlich

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to 0} \frac{x^n-1}{n} = \ln(x) \end{eqnarray*}$ .

15.06.2006, 11:09

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Huch, mich schüttelt's! $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ für eine reelle Größe! Bitte schreibt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ oder ...

Ihr habt so viele Möglichkeiten. Und da nehmt ihr das heilige, reine, edle, großartige up ewig ungedeelte $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ...

Welch ein Frevel!

15.06.2006, 11:10

Auf diesen Beitrag antworten »

Elender Dogmatiker, hinfort! Big Laugh

15.06.2006, 11:22

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie lautet noch einmal die Standardabweichung für die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Dichte

$\begin{eqnarray*} Y(n) = - \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \, h} \operatorname{e}^{-\frac{(n + h)^2}{2 h^2}} \end{eqnarray*}$

hat? War das $\begin{eqnarray*} \sqrt{\operatorname{Var}(f)} = -h \end{eqnarray*}$ ?

15.06.2006, 11:26

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist richtig. Aber warum die Einschränkung $\begin{eqnarray*} E(f)=-h \end{eqnarray*}$ ?

15.06.2006, 11:27

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Einschränkung?

15.06.2006, 11:44

Auf diesen Beitrag antworten »

Na wenn schon, dann hätte ich von dir die Normalverteilung mit vollen zwei Freiheitsgraden erwartet, und nicht nur einem. smile

15.06.2006, 12:21

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt habe ich mich so bemüht und mich doch vertan. Ich meinte natürlich die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ mit der Dichte

$\begin{eqnarray*} Y(f) = - \frac{h}{\sqrt{2 \pi}} \operatorname{e}^{-\frac{(hf + hX)^2}{2}} \end{eqnarray*}$

Und jetzt müßte doch $\begin{eqnarray*} \sqrt{\operatorname{Var}(\sigma)} = - h^{-1}, \, \mathcal{E}(\sigma) = -X \end{eqnarray*}$ passen? Oder habe ich schon wieder etwas falsch gemacht? Augenzwinkern

15.06.2006, 18:27

Auf diesen Beitrag antworten »

Nö, alles soweit Ok. Freude

Vielleicht wird noch ein richtiger Stochastiker aus dir. Big Laugh

@alle anderen

Sorry für diese Off-topic-Neckereien.

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwert über Integral

Verwandte Themen